民國114年 高考三級 統計 統計學
第2題
育嬰津貼的實施是否提升各市鎮新生兒人數？隨機抽取14 個市鎮， 得到實施前後之新生兒人數（單位：百人）統計如下： （每小題10 分，共40 分） 實施前120…
題目
育嬰津貼的實施是否提升各市鎮新生兒人數？隨機抽取14 個市鎮， 得到實施前後之新生兒人數（單位：百人）統計如下： （每小題10 分，共40 分） 實施前120 實施後124 顯著水準為0.05 之下，試以t 檢定說明是否育嬰津貼實施後新生 兒人數增加。 若實施後各市鎮新生兒人數平均增加360 人，試問 中檢定方法之 型二誤差為何？ 試以直方圖判斷本題使用t 檢定所需的常態假設之合理性。 顯著水準為0.05 之下，試以Wilcoxon 無母數方法進行檢定。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、檢定架構：本題為配對樣本 (paired samples) 設計，令 D_i=Y_i−X_i（實施後減實施前，單位百人），i=1,…,14。檢定 H0：μ_D≤0 對 H1：μ_D>0（津貼使新生兒增加）。統計量 t=D̄/(S_D/√14)，其中 D̄=ΣD_i/14、S_D^2=Σ(D_i−D̄)^2/13，自由度 df=13。α=0.05 單尾臨界值 t(0.05,13)=1.771，故 t>1.771 時拒絕 H0，否則不拒絕。
- 二、資料與計算步驟：題幹僅呈現「實施前 120、實施後 124」一組數值，其餘 13 個市鎮之配對資料未完整顯示，故 D̄ 與 S_D 均無法確定，t 值與檢定結論無法算出。答題時應明確寫出：題目資料缺漏，無法得出唯一數值。若 120 與 124 恰為前後平均數，則 D̄=4（百人，即 400 人），仍須有 S_D 方能求得 t；步驟為先算各市鎮差異、再算平均與標準差、最後代入統計量並與 1.771 比較。
- 三、型二誤差：β=P(不拒絕 H0 | μ_D=3.6 百人)=P(T'<1.771)，其中 T' 服從自由度 13、非中心參數 δ=(3.6−0)/(σ_D/√14)=13.47/σ_D 之非中心 t 分配 (noncentral t distribution)；檢定力 power=1−β。實作上以樣本標準差 s_D 估計 σ_D，再查非中心 t 表或軟體求算。因 σ_D（或 s_D）未給，題目資料缺漏，無法得出唯一數值；僅能指出 s_D 越小則 δ 越大、β 越趨近 0。
- 四、常態假設之直方圖判斷：應以 14 個 D_i 繪製直方圖（橫軸為新生兒增減人數、縱軸為市鎮個數），觀察是否單峰、大致對稱、呈鐘形且無極端離群值；若明顯右偏、雙峰或出現遠離主體之觀測值，則常態性可疑。n=14 時直方圖解析度有限，宜併用常態機率圖 (normal Q-Q plot) 或 Shapiro-Wilk 檢定。因題目未附完整配對資料與圖形，無法實際繪製與判讀，僅能說明判準；並可補充 t 檢定在樣本不大時對輕度非常態尚屬穩健。
- 五、Wilcoxon 符號等級檢定：計算 D_i，刪除 D_i=0 者，對 |D_i| 由小到大排序給等級（同值取平均等級），令 W+ 為正差異之等級和（n=14 時等級和總計 105）。檢定 H0：差異中位數為 0 對 H1：大於 0；查附表三，n=14、單尾 α=0.05 之臨界值為 W+≥79（雙尾 α=0.05 則為 W+≤21 或 ≥84）時拒絕 H0。大樣本可用常態近似 Z=(W+−52.5)/√253.75。因配對資料缺漏，W+ 無法計算，故無法得出檢定結論，僅能列出上述判定規則。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。