超過5 成的企業預期未來幾年的AI 人力需求將持續上升，特別 是在生成式AI 的應用下，相關產業的職缺將大幅增加。過去 20 個月的資料顯示市場對於AI 人才之…

題目

超過5 成的企業預期未來幾年的AI 人力需求將持續上升，特別 是在生成式AI 的應用下，相關產業的職缺將大幅增加。過去 20 個月的資料顯示市場對於AI 人才之需求呈線性成長趨勢， 今考慮需求人數 y 對時間之簡單線性模型，得到 ˆ 362, 4766, 7975, ( ) 15.25 i i i i i y iy y y y 。 （每小題10 分，共30 分） 試求回歸方程式。 試寫出ANOVA 表。 試寫出此模型之假設，並根據以下殘差圖說明模型假設是否合理。 residual t 附表一：t 表 Example: With df =9 and .10 area in the upper tail, t =1.383 附表二 Critical Values for the Wilcoxon Rank-Sum Test 附表三 Critical Values for the Wilcoxon Signed-Rank Test

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、前置統計量：n=20，以 t=1,2,…,20 為時間變數，Σt=210、Σt^2=2870，故 t̄=10.5；Σy=362，ȳ=18.1。離差平方和為 S_tt=2870−210^2/20=2870−2205=665；S_ty=4766−210×362/20=4766−3801=965；S_yy=7975−362^2/20=7975−6552.2=1422.8。此三量為估計迴歸係數與編製 ANOVA 表之基礎。
• 二、迴歸方程式：最小平方估計 (ordinary least squares) 為 b1=S_ty/S_tt=965/665=1.4511，b0=ȳ−b1·t̄=18.1−1.4511×10.5=18.1−15.2368=2.863。故迴歸式為 ŷ=2.863+1.451t。斜率 1.451 表示時間每增加一個月，AI 人才需求平均增加約 1.45 個單位（單位同 y），與「線性成長趨勢」之描述一致；b0 為 t=0 之外推截距，實務意義有限。
• 三、ANOVA 表：SST=1422.8（df=19）、SSE=15.25（df=n−2=18）、SSR=SST−SSE=1407.55（df=1）；MSR=1407.55、MSE=15.25/18=0.8472，F=MSR/MSE=1661.4。變異數分析表欄位為來源、自由度、平方和、均方、F 值。因 F(0.05,1,18)=4.41，F 遠大於臨界值，拒絕 H0：β1=0，判定需求與時間具顯著線性關係；判定係數 R^2=1407.55/1422.8=0.9893，估計標準誤 s=√0.8472=0.920。
• 四、補充說明：若以 SSR=b1·S_ty=1.4511×965=1400.34 計算，與 SST−SSE 之 1407.55 相差約 7.2，係題給統計量四捨五入或設定不一致所致；此時 SST=1415.59、F≈1652.9，R^2≈0.9892，統計結論完全相同。考生宜註明所採算法，避免前後數字矛盾。
• 五、模型假設：簡單線性模型 y_t=β0+β1t+ε_t 之假設為：(1) 線性與零均值，E(ε_t)=0；(2) 同質變異數，Var(ε_t)=σ^2；(3) 誤差相互獨立（無序列相關）；(4) 誤差服從常態分配，以支持 t 與 F 檢定及信賴區間；(5) 時間 t 為固定常數、無測量誤差。
• 六、殘差圖判讀與建議：以殘差 ê_t 對 t（或 ŷ）作圖，理想圖形為殘差隨機散佈於 0 附近之水平帶狀，無明顯曲線、無擴散或收斂趨勢。若呈漏斗狀代表異質變異數，可考慮加權最小平方或對 y 取對數；若呈 U 形或系統性曲線代表非線性，應加入二次項；若有離群點或殘差隨時間呈序列相關，則須檢查資料或改採時間序列模型。題目僅顯示座標軸 residual 與 t，未附圖形內容，故無法判讀假設是否合理，考生應依上述準則說明判讀方式，並提醒依實際圖形繪製與判定。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

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