民國114年 高考三級 統計 抽樣方法與迴歸分析
第1題
某市政府若想估算現有樹木植栽之綠化的社區總面積（以平方公尺計）， 由於綠化面積隨社區規模大小而有很大差異，決定以社區規模先進行分 層。若該市共有280 個社區，…
題目
某市政府若想估算現有樹木植栽之綠化的社區總面積（以平方公尺計）， 由於綠化面積隨社區規模大小而有很大差異，決定以社區規模先進行分 層。若該市共有280 個社區，依規模分為四類（分別為A, B, C, D），採 用比例配置（proportional allocation）法進行分層隨機抽樣得以下結果： 社區規模分類（層） A B C D ܰ ݊ ݕത 183.6 383.0 590.5 772.4 ݏ ଶ 1071.9 9054.8 16794.2 72376.3 i i i i N y s 、n、與 分別為第i 層的母體數、樣本數、樣本平均數及樣本變異 數，i=A, B, C, D。 估計該市綠化社區的總面積。（5 分） 針對小題 的估計結果，計算其95%近似誤差界限。（10 分） 如果使用奈曼配置（Neyman allocation），在5000 平方公尺的估計誤差 的範圍內，求一個近似的樣本量來達到小題 的誤差界限。（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、估計式：以社區規模分層、採比例配置 n_i＝n(N_i/N)，N＝280，使各層樣本數與母體數成比例。母體綠化總面積的估計式為 Ŷ＝ΣN_i ȳ_i，即各層母體社區數乘該層樣本平均面積後加總。惟題目僅列 ȳ_i 與 s_i²，未提供 N_i、n_i 及總樣本數 n，題目資料缺漏，無法得出唯一數值，僅能建立計算架構。
- 二、抽樣誤差與95%界限：Ŷ 的變異數 V＝ΣN_i²(1−n_i/N_i)s_i²/n_i＝ΣN_i(N_i−n_i)s_i²/n_i；在比例配置下可化簡為 (N/n)ΣN_i s_i²−ΣN_i s_i²。95%近似誤差界限 B＝1.96√V，小樣本時宜改用 t 值。只要代入各層 N_i、n_i、s_i² 即可求得，惟本題缺少 N_i 與 n_i，故僅能列出公式與步驟。
- 三、奈曼配置求樣本量：奈曼配置 n_i＝n·N_i s_i／ΣN_j s_j，可使變異數最小，此時 V＝(ΣN_i s_i)²/n−ΣN_i s_i²。令 1.96√V＝5000，解得 n＝(ΣN_i s_i)²／[(5000/1.96)²＋ΣN_i s_i²]，再無條件進位為整數，並檢核各層 n_i≥2 且 n_i≤N_i。
- 四、限制與建議：奈曼配置須先掌握各層標準差 s_i，可由前次調查或試查推估，且 N_i 必須齊備；若各層調查成本差異大，宜改用最適配置 n_i∝N_i s_i/√c_i。另 5000 平方公尺係「誤差界限」而非變異數，不可混淆；求得 n 後仍應以實際配置回算界限，確認是否滿足要求。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。