民國114年 高考三級 統計 抽樣方法與迴歸分析考古題

民國114年 高考三級 統計 抽樣方法與迴歸分析收錄考選部官方試題，共 3 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。

官方資料

題目與答案

第1題

某市政府若想估算現有樹木植栽之綠化的社區總面積（以平方公尺計）， 由於綠化面積隨社區規模大小而有很大差異，決定以社區規模先進行分 層。若該市共有280 個社區，依規模分為四類（分別為A, B, C, D），採 用比例配置（proportional allocation）法進行分層隨機抽樣得以下結果： 社區規模分類（層） A B C D ܰ௜ ݊௜ ݕത௜ 183.6 383.0 590.5 772.4 ݏ௜ ଶ 1071.9 9054.8 16794.2 72376.3 i i i i N y s 、n、與 分別為第i 層的母體數、樣本數、樣本平均數及樣本變異 數，i=A, B, C, D。 估計該市綠化社區的總面積。（5 分） 針對小題 的估計結果，計算其95%近似誤差界限。（10 分） 如果使用奈曼配置（Neyman allocation），在5000 平方公尺的估計誤差 的範圍內，求一個近似的樣本量來達到小題 的誤差界限。（15 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、估計式：以社區規模分層、採比例配置 n_i＝n(N_i/N)，N＝280，使各層樣本數與母體數成比例。母體綠化總面積的估計式為 Ŷ＝ΣN_i ȳ_i，即各層母體社區數乘該層樣本平均面積後加總。惟題目僅列 ȳ_i 與 s_i²，未提供 N_i、n_i 及總樣本數 n，題目資料缺漏，無法得出唯一數值，僅能建立計算架構。
  • 二、抽樣誤差與95%界限：Ŷ 的變異數 V＝ΣN_i²(1−n_i/N_i)s_i²/n_i＝ΣN_i(N_i−n_i)s_i²/n_i；在比例配置下可化簡為 (N/n)ΣN_i s_i²−ΣN_i s_i²。95%近似誤差界限 B＝1.96√V，小樣本時宜改用 t 值。只要代入各層 N_i、n_i、s_i² 即可求得，惟本題缺少 N_i 與 n_i，故僅能列出公式與步驟。
  • 三、奈曼配置求樣本量：奈曼配置 n_i＝n·N_i s_i／ΣN_j s_j，可使變異數最小，此時 V＝(ΣN_i s_i)²/n−ΣN_i s_i²。令 1.96√V＝5000，解得 n＝(ΣN_i s_i)²／[(5000/1.96)²＋ΣN_i s_i²]，再無條件進位為整數，並檢核各層 n_i≥2 且 n_i≤N_i。
  • 四、限制與建議：奈曼配置須先掌握各層標準差 s_i，可由前次調查或試查推估，且 N_i 必須齊備；若各層調查成本差異大，宜改用最適配置 n_i∝N_i s_i/√c_i。另 5000 平方公尺係「誤差界限」而非變異數，不可混淆；求得 n 後仍應以實際配置回算界限，確認是否滿足要求。

第2題

某市政府民政局制訂抽樣計劃，藉以估算所屬某項業務的每週申辦數 量。該民政局決定先對該市的20 個行政區隨機抽出五個區，然後再自抽 中的各區內的里進行隨機抽樣。此兩階段聚類樣本（two-stage cluster sample）得到以下統計結果： 區 里數 抽樣里數 ݕത௜ ݏ௜ ଶ i i y s 與 分別為第i 區該項業務的平均每週申辦數及樣本變異數 估算該業務平均的每週申辦數量。（5 分） 計算95%近似誤差界限。（15 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、設計與估計式：兩階段聚類抽樣係第一階段自 20 個行政區以簡單隨機抽樣抽出 5 區，第二階段再於中選區內抽里。若各區里數 M_i 不等，母體平均每週申辦數宜採比率估計 ŷ＝ΣM_i ȳ_i／ΣM_i；若里數相近，亦可採 (1/n)Σȳ_i。權重應以里數為基礎，以免大區被低估。
  • 二、變異數與95%界限：V(ŷ)≈(1−n/N)s_b²/n＋[1/(n M̄²)]ΣM_i²(1−m_i/M_i)s_i²/m_i，第一項為第一階段抽區的變異，第二項為區內抽里的變異，M̄ 為平均里數。95%近似誤差界限為 1.96√V。因第一階段自由度僅 4，宜改採 t 值或近似法。
  • 三、資料缺漏說明：題目表格未呈現各區里數、抽樣里數、ȳ_i 與 s_i² 之數值，故無法計算 s_b²、V 及誤差界限，題目資料缺漏，無法得出唯一數值。作答時應完整列出公式、符號定義與代入步驟，並註明所需假設，包括各區獨立、區內為簡單隨機抽樣。
  • 四、實務建議與限制：兩階段抽樣成本較低但變異較大，可藉增加第一階段抽樣區數 n 以降低 s_b²/n 項；若區內里數差異大，宜採機率與大小成比例（PPS）抽樣。又抽出區數少時中央極限定理未必成立，宜採 t 分布或重抽法（bootstrap）估計界限。

第3題

某市政府工務單位欲瞭解其約聘僱人員的工作滿意度分數Y（分數愈高 滿意度愈高）之影響因素，考慮以下解釋變數： X ：工作年資（年） X ：薪資（千元） 及學歷（分「高中及以下」、「大專」、「研究所及以上」等三類），並定義 變數如下： X X ， 若蒐集30 位約聘僱人員的資料，將Y 對 X X X X 和 、、 進行迴歸分析， 得到以下迴歸模型的估計： 估計值 標準誤 截距項 13.24 7.29 X 8.69 2.56 X 1.35 0.38 X 4.92 2.10 X 5.89 4.10 SST=989.7，s=4.8 SST 為總變異平方和（total sum of squares），s 為迴歸誤差之標準差的估 計值。回答以下問題： 說明所建立的迴歸模型及其所需誤差的假設。（6 分） 分別說明 X 與 X 之估計的迴歸係數的意義。（6 分） 以顯著水準為0.05，分別檢定 X 與 X 的迴歸係數之顯著性。（10 分） 寫出此配適模型的變異數分析（analysis of variance）表，並詳細說明 計算過程。（10 分） 以顯著水準為0.05，檢定此迴歸模型之所有解釋變數的係數是否皆等 於0。（6 分） 計算調整的判定係數（adjusted coefficient of determination）。（6 分） 說明均方誤（mean squared error，MSE）的定義與意義，並計算此配 適模型的MSE 值。（6 分） 大專學歷 其他 研究所及以上學歷 其他 附表一： α tα 附表二：

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、模型與誤差假設：Y＝β₀＋β₁X₁＋β₂X₂＋β₃X₃＋β₄X₄＋ε，X₃ 為大專學歷虛擬變數（大專＝1、其他＝0），X₄ 為研究所及以上（是＝1、其他＝0），以「高中及以下」為參照組。假設 ε 期望值為 0、變異數固定為 σ²、彼此獨立且服從常態，解釋變數間無完全共線性，X 為固定常數。
  • 二、係數意義：β̂₁＝8.69 表示在其他變數不變下，年資每增加 1 年，滿意度平均提高 8.69 分；β̂₂＝1.35 表示薪資每增加 1 千元，滿意度平均提高 1.35 分。β̂₃＝4.92 為大專學歷者相對高中及以下者的平均分數差；β̂₄＝5.89 為研究所及以上者相對高中及以下者的差距。
  • 三、個別係數 t 檢定：df＝30−5＝25，t₀.₀₂₅＝2.060。t₁＝8.69/2.56＝3.40、t₂＝1.35/0.38＝3.55、t₃＝4.92/2.10＝2.34，均大於 2.060，達 0.05 顯著水準；t₄＝5.89/4.10＝1.44＜2.060，未達顯著。截距項 t＝13.24/7.29＝1.82，亦不顯著。
  • 四、變異數分析表：df 迴歸＝4、誤差＝25、總＝29。MSE＝s²＝4.8²＝23.04，SSE＝25×23.04＝576.0，SSR＝989.7−576.0＝413.7，MSR＝413.7/4＝103.43。表列為迴歸 SS 413.7、df 4、MS 103.43、F 4.49；誤差 SS 576.0、df 25、MS 23.04；總 SS 989.7、df 29。
  • 五、整體檢定、調整 R² 與 MSE：F＝103.43/23.04＝4.49＞F₀.₀₅(4,25)＝2.76，拒絕所有係數皆為 0。R²＝413.7/989.7＝0.418，調整 R²＝1−(1−0.418)(29/25)＝0.325。MSE＝SSE/(n−p)＝576/25＝23.04，為 σ² 的不偏估計，代表殘差變異的平均水準。