民國114年 高考三級 統計 抽樣方法與迴歸分析
第2題
某市政府民政局制訂抽樣計劃，藉以估算所屬某項業務的每週申辦數 量。該民政局決定先對該市的20 個行政區隨機抽出五個區，然後再自抽 中的各區內的里進行隨機抽樣。此…
題目
某市政府民政局制訂抽樣計劃，藉以估算所屬某項業務的每週申辦數 量。該民政局決定先對該市的20 個行政區隨機抽出五個區，然後再自抽 中的各區內的里進行隨機抽樣。此兩階段聚類樣本（two-stage cluster sample）得到以下統計結果： 區 里數 抽樣里數 ݕത ݏ ଶ i i y s 與 分別為第i 區該項業務的平均每週申辦數及樣本變異數 估算該業務平均的每週申辦數量。（5 分） 計算95%近似誤差界限。（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、設計與估計式：兩階段聚類抽樣係第一階段自 20 個行政區以簡單隨機抽樣抽出 5 區，第二階段再於中選區內抽里。若各區里數 M_i 不等，母體平均每週申辦數宜採比率估計 ŷ＝ΣM_i ȳ_i／ΣM_i；若里數相近，亦可採 (1/n)Σȳ_i。權重應以里數為基礎，以免大區被低估。
- 二、變異數與95%界限：V(ŷ)≈(1−n/N)s_b²/n＋[1/(n M̄²)]ΣM_i²(1−m_i/M_i)s_i²/m_i，第一項為第一階段抽區的變異，第二項為區內抽里的變異，M̄ 為平均里數。95%近似誤差界限為 1.96√V。因第一階段自由度僅 4，宜改採 t 值或近似法。
- 三、資料缺漏說明：題目表格未呈現各區里數、抽樣里數、ȳ_i 與 s_i² 之數值，故無法計算 s_b²、V 及誤差界限，題目資料缺漏，無法得出唯一數值。作答時應完整列出公式、符號定義與代入步驟，並註明所需假設，包括各區獨立、區內為簡單隨機抽樣。
- 四、實務建議與限制：兩階段抽樣成本較低但變異較大，可藉增加第一階段抽樣區數 n 以降低 s_b²/n 項；若區內里數差異大，宜採機率與大小成比例（PPS）抽樣。又抽出區數少時中央極限定理未必成立，宜採 t 分布或重抽法（bootstrap）估計界限。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。