民國110年 高考三級 經建行政 統計學
第1題
Janice 是一位成功的大學教科書業務代表。依照過去的經驗，經由每通 電話的拜訪與說明，Janice 取得訂單的機率是25%。現在抽出她某個月 的業務電話通數…
題目
Janice 是一位成功的大學教科書業務代表。依照過去的經驗，經由每通 電話的拜訪與說明，Janice 取得訂單的機率是25%。現在抽出她某個月 的業務電話通數當做樣本，並假設該資料所產生的比例的標準誤為 0.0625。 依據以上訊息，在那個月中Janice 共打了多少通業務電話？（3 分） 令p為推銷成功率的估計式，藉由p的抽樣分配，計算Janice 在那個 月內有30%（含）以上成功率的機率為何？（7 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、估計式與抽樣分配：令 X 為該月成功取得訂單的通數、n 為電話總通數，則成功率估計式為 p̂=X/n。在大樣本且 np、nq 均足夠時，p̂ 近似 N(p, pq/n)，標準誤 SE(p̂)=√(pq/n)。題目已知 p=0.25、q=0.75，且 SE(p̂)=0.0625，這三個條件就是解題起點。
- 二、求樣本數 n：將已知值代入 0.0625=√(0.25×0.75/n)，兩邊平方得 0.00390625=0.1875/n，故 n=0.1875/0.00390625=48。亦即該月 Janice 共打了 48 通業務電話。作答時宜寫出「先平方、再交叉相乘」的步驟，並以 np=12、nq=36 檢核樣本規模是否足夠。
- 三、計算 P(p̂≥0.30)：以常態近似標準化，z=(0.30−0.25)/0.0625=0.8，故 P(p̂≥0.30)≈P(Z≥0.8)=0.2119。若採連續性校正，改以 0.295 為界得 z=0.72，機率約 0.2358；兩者結論一致，均約在兩成上下。
- 四、結果解讀與限制：約有 21% 的機率該月成功率達到三成以上，雖高於母體 25%，仍屬抽樣波動可解釋的範圍，不足以推翻 p=0.25 的設定。惟 n=48 時 np=12 僅勉強滿足常態近似，嚴格作答應註明此為近似值，並可補充以二項分配精算會得到略高於常態近似的機率。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。