民國110年 高考三級 經建行政 統計學考古題

民國110年 高考三級 經建行政 統計學收錄考選部官方試題，共 7 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。

官方資料

題目與答案

第1題

Janice 是一位成功的大學教科書業務代表。依照過去的經驗，經由每通 電話的拜訪與說明，Janice 取得訂單的機率是25%。現在抽出她某個月 的業務電話通數當做樣本，並假設該資料所產生的比例的標準誤為 0.0625。 依據以上訊息，在那個月中Janice 共打了多少通業務電話？（3 分） 令p為推銷成功率的估計式，藉由p的抽樣分配，計算Janice 在那個 月內有30%（含）以上成功率的機率為何？（7 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、估計式與抽樣分配：令 X 為該月成功取得訂單的通數、n 為電話總通數，則成功率估計式為 p̂=X/n。在大樣本且 np、nq 均足夠時，p̂ 近似 N(p, pq/n)，標準誤 SE(p̂)=√(pq/n)。題目已知 p=0.25、q=0.75，且 SE(p̂)=0.0625，這三個條件就是解題起點。
  • 二、求樣本數 n：將已知值代入 0.0625=√(0.25×0.75/n)，兩邊平方得 0.00390625=0.1875/n，故 n=0.1875/0.00390625=48。亦即該月 Janice 共打了 48 通業務電話。作答時宜寫出「先平方、再交叉相乘」的步驟，並以 np=12、nq=36 檢核樣本規模是否足夠。
  • 三、計算 P(p̂≥0.30)：以常態近似標準化，z=(0.30−0.25)/0.0625=0.8，故 P(p̂≥0.30)≈P(Z≥0.8)=0.2119。若採連續性校正，改以 0.295 為界得 z=0.72，機率約 0.2358；兩者結論一致，均約在兩成上下。
  • 四、結果解讀與限制：約有 21% 的機率該月成功率達到三成以上，雖高於母體 25%，仍屬抽樣波動可解釋的範圍，不足以推翻 p=0.25 的設定。惟 n=48 時 np=12 僅勉強滿足常態近似，嚴格作答應註明此為近似值，並可補充以二項分配精算會得到略高於常態近似的機率。

第2題

2010 年1 月汽車產業在A 國共售出657,000 輛車。自2009 年1 月的經 濟衰退以來，銷售額已減少37%。美國三大車廠－通用汽車（General Motors）、福特（Ford）及克萊斯勒（Chrysler）共售出280,500 輛車， 較2009 年1 月減少48%。 汽車製造商及銷售車輛類型的資料如下表，資料以千輛為單位。非美國 製造商由豐田（Toyota）、本田（Honda）及日產（Nissan）領軍共售出 376,500 輛車。下表的輕型卡車包括小貨卡、多功能休旅車、運動型休旅 車及跨界休旅車。 車型 製造商 小客車 輕型卡車 美國車廠 87.4 193.1 非美國車廠 228.5 148.0 如果某輛車是美國車廠製造，這輛車是輕型卡車的機率是多少？（5 分） 某輛車是由美國車廠製造或是小客車的機率是多少？（5 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、解題原理：本題為列聯表的機率計算，核心工具是條件機率 P(A|B)=P(A∩B)/P(B) 與加法法則 P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)。先將以千輛為單位的表格整理成聯合、邊際與總和三個層次，可避免分母誤用。
  • 二、整理聯合與邊際次數：美國車廠合計 87.4+193.1=280.5（千輛），非美國車廠 228.5+148.0=376.5，總計 657.0。小客車邊際為 87.4+228.5=315.9，輕型卡車邊際為 193.1+148.0=341.1，兩者相加亦為 657.0，與題幹數字相符，可作為驗算。
  • 三、第一小題（條件機率）：已知該車為美國車廠製造，樣本空間縮減為 280.5，其中輕型卡車 193.1，故 P(輕型卡車|美國車廠)=193.1/280.5=0.6884。即美國車廠所售車輛中約 68.8% 為輕型卡車，反映其產品結構偏重小貨卡與休旅車。
  • 四、第二小題（聯集機率）：P(美國∪小客車)=P(美國)+P(小客車)−P(美國∩小客車)=(280.5+315.9−87.4)/657=509.0/657=0.7747。亦可用補集速算：總量扣除「非美國且為輕型卡車」的 148.0，即 (657−148)/657=0.7747，約 77.5%。

第3題

食用燕麥糠是否為一種有效降低膽固醇的方法？早期的研究指出，每日 食用燕麥糠可降低5% 到10% 的膽固醇標準。這項研究報告導致許多 新式早餐的穀類食品皆推行含有不同百分比的燕麥糠。然而，在德州休 士頓某研究單位的醫學研究員懷疑燕麥糠的效果，並進行一項實驗。在 那項實驗中，120 位自願者食用燕麥糠為早餐（稱為實驗組），而其他120 位自願者食用另一種穀類食品為早餐（稱為對照組）。在6 週之後，計算 並蒐集兩個群組自願者膽固醇降低的百分比。 實驗組的資料訊息：（平均數，標準差，人數）=（10.01, 4.43, 120）。 對照組的資料訊息：（平均數，標準差，人數）=（9.12, 4.45, 120）。 平均數與標準差的單位皆是百分比。 對降低膽固醇而言，在5% 的顯著水準下，我們是否能夠藉由假設檢定 推論燕麥糠不同於其他早餐穀類食品？寫下假設檢定的過程，包括虛無 與對立假設、拒絕域、檢定統計量與檢定結果。採用相同變異數的檢定 統計量。（15 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、建立假設：令 μ1 為燕麥糠組膽固醇平均降低百分比、μ2 為對照組。H0：μ1−μ2=0（燕麥糠與其他穀類無差異）；H1：μ1−μ2≠0（雙尾）。給定 α=0.05，兩組獨立，並依題意假設母體變異數相等。
  • 二、池化變異數與檢定統計量：sp²=[(n1−1)s1²+(n2−1)s2²]/(n1+n2−2)=[119×4.43²+119×4.45²]/238=(19.6249+19.8025)/2=19.7137，sp=4.4401。SE=sp√(1/120+1/120)=4.4401×0.12910=0.5732，t=(10.01−9.12)/0.5732=1.553，自由度為 120+120−2=238。
  • 三、拒絕域與檢定結果：雙尾檢定拒絕域為 |t|>t0.025,238≈1.970。因 1.553<1.970，不拒絕 H0；p 值約 0.122，大於 0.05。故在 5% 顯著水準下，無充分證據推論燕麥糠降低膽固醇的效果不同於其他早餐穀類食品。
  • 四、結論詮釋與提醒：兩組差距僅 0.89 個百分點，效果量 d=0.89/4.44≈0.20 屬小效果；統計不顯著與實務上無效果並不等義，不拒絕 H0 只表示資料不足以否定相等。若要偵測更小差距或採單尾檢定，應提高樣本數、延長介入期間，或控制飲食與運動等干擾因素。

第4題

學術能力測試（SAT）包含三個領域：關鍵性閱讀、數學和寫作，每個領 域的滿分為800 分。想了解學生在SAT 的三個領域表現是否有不同， 本題考慮完整的隨機區塊設計（complete randomized block design），進行 學生在SAT 的三個領域之資料蒐集。以下是六名學生的SAT 分數樣本： 學生 關鍵性閱讀 數學 寫作 請說明為何考慮隨機區塊設計？何者為區塊以及何者為感興趣的因 子。（5 分） 給定SSTR=1348, SSBL=63250 and SST=65798，建構對應的ANOVA 表 （SSTR：Sum of squares for Treatment；SSBL：Sum of squares for Block； SST：Total sumof squares）。在5%的顯著水準下，是否有足夠證據說明 學生在SAT 的三個領域表現不同？寫下假設檢定的過程，包括虛無與 對立假設、拒絕域、檢定統計量與檢定結果。（15 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、為何採隨機區塊設計：學生的語文與數理天賦差異極大，屬典型干擾變數（nuisance variable）。若採完全隨機設計，這部分變異會全數落入誤差項而使檢定力下降；改以「每位學生」為區塊，在同一區塊內比較三個領域，可將學生間差異自誤差中分離，僅用學生內部差異檢定領域效果。
  • 二、區塊與因子的界定：區塊（block）為「學生」，共 6 個水準；感興趣的因子（factor）為「SAT 領域」，有 3 個水準（關鍵性閱讀、數學、寫作）。每位學生在三個水準下各提供一個觀測值，故為完整隨機區塊設計（complete randomized block design），總觀測數 6×3=18。
  • 三、假設與 ANOVA 表建構：H0：三個領域平均分數相等（τ1=τ2=τ3=0）；H1：至少有一領域不同。SSE=SST−SSTR−SSBL=65798−1348−63250=1200。自由度為處理 2、區塊 5、誤差 10、總 17；MSSTR=1348/2=674、MSBL=63250/5=12650、MSE=1200/10=120，F=674/120=5.617。
  • 四、拒絕域與檢定結果：拒絕域為 F>F0.05,2,10=4.10。因 5.617>4.10，拒絕 H0，p 值約 0.023，故在 5% 水準下有足夠證據說明學生在三個領域的表現不全相同。另區塊的 F 值為 12650/120=105.4，遠大於臨界值，顯示區塊效果顯著、設計確有降低誤差之效。
  • 五、後續與限制：拒絕 H0 僅指出「不全相等」，欲知哪兩個領域有差異，須從事後多重比較（如 LSD、Tukey HSD 或 Bonferroni）並控制整體錯誤率。此外區塊設計要求區塊內觀測可比較，若學生缺考造成資料不完整，即須改用不平衡設計或剔除該區塊處理。

第5題

《華爾街日報》企業觀念研究2011 年讀者之調查，詢問其對全球250 家 公司管理品質與公司聲譽之關係的評比。此調查以甚佳、良好、尚可等 三種類別尺度來衡量公司的管理品質與公司聲譽。本研究200 位受訪者 之樣本資料如下： 公司聲譽 管理品質 甚佳 良好 尚可 甚佳 良好 尚可 在5%顯著水準下，檢定公司的管理品質與公司聲譽是否獨立。寫下假 設檢定的過程，包括虛無與對立假設、拒絕域、檢定統計量與檢定結 果。（15 分） 請根據樣本資料並用條件機率來說明 的檢定結果。（5 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、檢定設定：管理品質與公司聲譽均為 3 個類別的類別變數。H0：兩變數獨立（無關聯）；H1：兩變數不獨立（有關聯）。顯著水準 α=0.05，採皮爾森卡方獨立性檢定（chi-square test of independence），r=c=3。
  • 二、檢定統計量與拒絕域：χ²=ΣiΣj (Oij−Eij)²/Eij，其中 Eij=Ri×Cj/n，Ri、Cj 分別為列與行的邊際次數，n=200。自由度 (r−1)(c−1)=4，拒絕域為 χ²>χ²0.05,4=9.488；並須檢查所有期望次數不小於 5，否則應合併類別或改用精確檢定。
  • 三、資料缺漏之處理：題目僅列出「甚佳、良好、尚可」的類別標題，並未提供 9 格的觀察次數 Oij，因此無法計算 Eij、χ² 值與 p 值；題目資料缺漏，無法得出唯一數值。作答時應完整寫出上列公式與自由度，並說明代入觀察值後之判定規則：若 χ²>9.488 則拒絕獨立，否則不拒絕。
  • 四、以條件機率說明檢定結果：獨立的意涵是 P(聲譽=j|品質=i)=P(聲譽=j) 對所有 i、j 成立。可逐列計算條件機率分布（如 P(聲譽甚佳|品質甚佳)=O11/R1），再與行邊際機率 Cj/200 比較；若各列分布與邊際分布相近，即支持獨立。
  • 五、判讀原則與結論寫法：若高管理品質者被評為「甚佳」的條件機率明顯高於全體邊際機率，而低管理品質者集中於「尚可」，呈現對角線集中現象，即表示兩變數正相關，與拒絕 H0 的結論一致；反之若各列條件分布幾乎重合，則與不拒絕 H0 相符。

第6題

最近，可用性專業人士協會（UPA）針對會員進行薪水調查，採用一階 多元回歸模型（first-order multiple regression model），以經驗年數（x1）、 博士學位（x2 = 1 如果是博士，0 如果不是博士）和經理狀態（x3 = 1 如 果是經理，x3 =0 如果不是經理）來預測薪水（y，以美元為單位）。得到 如下預測方程式： ˆ 2941( 1) 16880( 2) 11108( 3) y x x x 預測擁有10 年經驗且沒有博士學位卻是經理的UPA 成員的薪水及 擁有10 年經驗且有博士學位卻不是經理的UPA 成員的薪水。比較 這兩份薪水，說明差別的可能原因。（6 分） 說明調整後的多重決定係數，Rୟୢ୨ ଶ=0.32 的實際解釋。（2 分） 已知x1 係數的95%信賴區間為（2700, 3200），說明此結果的實際解 釋。（2 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、預測方程式與代入：依題意 ŷ=2941x1+16880x2+11108x3（若原式含截距 b0，兩情境同加 b0，差額不變）。情境 A：x1=10、x2=0、x3=1，ŷ=29,410+11,108=40,518 美元；情境 B：x1=10、x2=1、x3=0，ŷ=29,410+16,880=46,290 美元。
  • 二、差異比較與可能原因：兩者相差 5,772 美元，主因博士學位虛擬變數的係數 16,880 大於經理身分的 11,108。可能的解釋包括：博士學位在該專業市場具稀少性與訊號效果；經理職的報酬部分已反映於經驗年數；樣本中博士人數較少致估計不穩定；或模型遺漏職務內容、地區、產業別等變數而產生偏誤。
  • 三、調整後多重決定係數：R²adj=0.32 表示以經驗年數、博士學位與經理狀態三個解釋變數預測薪水時，經自由度調整後可解釋薪資變異的 32%，其餘 68% 由未納入模型的因素與隨機誤差構成。調整後 R² 已懲罰變數個數，適合作為不同變數組合模型的比較依據。
  • 四、x1 係數的信賴區間：β1 的 95% 信賴區間為 (2700, 3200)，意即在控制博士學位與經理狀態不變下，經驗年數每增加一年，平均薪資的增加量有 95% 的信心落在 2,700 至 3,200 美元之間。因區間不包含 0，可推論經驗年數對薪水有顯著正向影響（α=0.05）。

第7題

令λ 為固定正常數，且定義如下函數 f(x) = ଵ ଶλ݁ିఒ௫，對x≧0；f(x) = ଵ ଶλ݁ఒ௫，對x < 0。 若隨機變數X 的pdf 為f(x)，令t 為任意實數，試求P(X<t)。（10 分） 試求P(|X|<t)。（5 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、確認密度函數：f(x)=(λ/2)e^{−λx}（x≥0）、f(x)=(λ/2)e^{λx}（x<0），此為雙指數（double exponential）或 Laplace 分配，位置參數 0、尺度參數 1/λ。檢核：左右兩側積分各為 1/2，總和為 1，且 f(x)≥0，故為合法 pdf；圖形對稱於 y 軸，於 x=0 有尖峰 λ/2。
  • 二、t≥0 的情形：P(X<t)=∫−∞0 (λ/2)e^{λx}dx+∫0t (λ/2)e^{−λx}dx=1/2+(1/2)(1−e^{−λt})=1−(1/2)e^{−λt}。左側積分因對稱恰為 1/2，右側則為指數分配累積機率之半。
  • 三、t<0 的情形與彙總：當 t<0，P(X<t)=∫−∞t (λ/2)e^{λx}dx=(1/2)e^{λt}。故累積分布函數為 F(t)=1−(1/2)e^{−λt}（t≥0）、F(t)=(1/2)e^{λt}（t<0）。可檢核 F(0)=1/2，且 t→+∞ 時趨近 1、t→−∞ 時趨近 0，符合分配要求。
  • 四、P(|X|<t) 的計算：當 t>0，P(|X|<t)=P(−t<X<t)=F(t)−F(−t)=[1−(1/2)e^{−λt}]−(1/2)e^{−λt}=1−e^{−λt}；當 t≤0，因 |X|≥0，機率為 0。繪圖時宜畫出對稱鐘形曲線、標出尖峰 (0, λ/2) 與 −t、t 兩條垂直線，並以兩線間陰影面積表示該機率。