民國110年 高考三級 經建行政 統計學
第7題
令λ 為固定正常數，且定義如下函數 f(x) = ଵ ଶλ݁ିఒ௫，對x≧0；f(x) = ଵ ଶλ݁ఒ௫，對x < 0。 若隨機變數X 的pdf 為f(x)，…
題目
令λ 為固定正常數，且定義如下函數 f(x) = ଵ ଶλ݁ିఒ௫，對x≧0；f(x) = ଵ ଶλ݁ఒ௫，對x < 0。 若隨機變數X 的pdf 為f(x)，令t 為任意實數，試求P(X<t)。（10 分） 試求P(|X|<t)。（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、確認密度函數：f(x)=(λ/2)e^{−λx}（x≥0）、f(x)=(λ/2)e^{λx}（x<0），此為雙指數（double exponential）或 Laplace 分配，位置參數 0、尺度參數 1/λ。檢核：左右兩側積分各為 1/2，總和為 1，且 f(x)≥0，故為合法 pdf；圖形對稱於 y 軸，於 x=0 有尖峰 λ/2。
- 二、t≥0 的情形：P(X<t)=∫−∞0 (λ/2)e^{λx}dx+∫0t (λ/2)e^{−λx}dx=1/2+(1/2)(1−e^{−λt})=1−(1/2)e^{−λt}。左側積分因對稱恰為 1/2，右側則為指數分配累積機率之半。
- 三、t<0 的情形與彙總：當 t<0，P(X<t)=∫−∞t (λ/2)e^{λx}dx=(1/2)e^{λt}。故累積分布函數為 F(t)=1−(1/2)e^{−λt}（t≥0）、F(t)=(1/2)e^{λt}（t<0）。可檢核 F(0)=1/2，且 t→+∞ 時趨近 1、t→−∞ 時趨近 0，符合分配要求。
- 四、P(|X|<t) 的計算：當 t>0，P(|X|<t)=P(−t<X<t)=F(t)−F(−t)=[1−(1/2)e^{−λt}]−(1/2)e^{−λt}=1−e^{−λt}；當 t≤0，因 |X|≥0，機率為 0。繪圖時宜畫出對稱鐘形曲線、標出尖峰 (0, λ/2) 與 −t、t 兩條垂直線，並以兩線間陰影面積表示該機率。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。