民國111年 高考三級 經建行政 統計學
第1題
假設隨機變數X 的動差生成函數為ܯ(ݐ) = ଵ ଼+ ଵ ଶ݁௧+ ଵ ସ݁ଶ௧+ ଵ ଼݁ସ௧。令 ܺଵ, ܺଶ, . . . , ܺଵ為服從此機率分配之…
題目
假設隨機變數X 的動差生成函數為ܯ(ݐ) = ଵ ଼+ ଵ ଶ݁௧+ ଵ ସ݁ଶ௧+ ଵ ଼݁ସ௧。令 ܺଵ, ܺଶ, . . . , ܺଵ為服從此機率分配之獨立樣本，而ܺ為其樣本平均。 試求X 之機率分配。（5 分） 試估計ܲ൫ܺ≥2൯。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、由動差生成函數（moment generating function, MGF）判別分配：M(t)=1/8＋(1/2)e^t＋(1/4)e^(2t)＋(1/8)e^(4t) 為離散型的階梯函數，各項係數即為機率、指數即為取值，故 X 之機率分配為 P(X=0)=1/8、P(X=1)=1/2、P(X=2)=1/4、P(X=4)=1/8，四者機率和為 1，屬有限支撐的離散分配。
- 二、求動差：M′(0)=E(X)=0×(1/8)＋1×(1/2)＋2×(1/4)＋4×(1/8)=1.5；M″(0)=E(X²)=0＋0.5＋4×0.25＋16×0.125=3.5，故 Var(X)=3.5－1.5²=1.25，標準差 σ=1.1180。此為後續近似所需的母體參數。
- 三、以中央極限定理（central limit theorem, CLT）估計：n=10，X̄ 近似 N(1.5, 1.25/10=0.125)，標準誤 SE=0.3536。z=(2－1.5)/0.3536=1.414，P(X̄≥2)≈1－Φ(1.414)=0.0786，約 7.9%。
- 四、連續性校正（continuity correction）：因 X 取值間隔為 1，樣本平均之間隔為 1/n=0.1，門檻宜修正為 2－1/(2n)=1.95，z=(1.95－1.5)/0.3536=1.273，P≈1－Φ(1.273)=0.1015，約 10.2%。
- 五、說明與限制：X 非常態，n=10 屬小樣本，常態近似僅為「估計」而非精確值；若要求精確機率，須以 convolution 逐項列舉 X̄≥2 的組合（如平均為 2、2.1、…、4）加總，作答時宜註明所採方法與近似誤差。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。