民國111年 高考三級 經建行政 統計學考古題
民國111年 高考三級 經建行政 統計學收錄考選部官方試題，共 5 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
假設隨機變數X 的動差生成函數為ܯ(ݐ) =
ଵ
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ଶ݁௧+
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ସ݁ଶ௧+
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଼݁ସ௧。令
ܺଵ, ܺଶ, . . . , ܺଵ為服從此機率分配之獨立樣本，而ܺ為其樣本平均。
試求X 之機率分配。（5 分）
試估計ܲ൫ܺ≥2൯。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、由動差生成函數（moment generating function, MGF）判別分配：M(t)=1/8＋(1/2)e^t＋(1/4)e^(2t)＋(1/8)e^(4t) 為離散型的階梯函數，各項係數即為機率、指數即為取值，故 X 之機率分配為 P(X=0)=1/8、P(X=1)=1/2、P(X=2)=1/4、P(X=4)=1/8，四者機率和為 1，屬有限支撐的離散分配。
- 二、求動差：M′(0)=E(X)=0×(1/8)＋1×(1/2)＋2×(1/4)＋4×(1/8)=1.5；M″(0)=E(X²)=0＋0.5＋4×0.25＋16×0.125=3.5，故 Var(X)=3.5－1.5²=1.25，標準差 σ=1.1180。此為後續近似所需的母體參數。
- 三、以中央極限定理（central limit theorem, CLT）估計：n=10，X̄ 近似 N(1.5, 1.25/10=0.125)，標準誤 SE=0.3536。z=(2－1.5)/0.3536=1.414，P(X̄≥2)≈1－Φ(1.414)=0.0786，約 7.9%。
- 四、連續性校正（continuity correction）：因 X 取值間隔為 1，樣本平均之間隔為 1/n=0.1，門檻宜修正為 2－1/(2n)=1.95，z=(1.95－1.5)/0.3536=1.273，P≈1－Φ(1.273)=0.1015，約 10.2%。
- 五、說明與限制：X 非常態，n=10 屬小樣本，常態近似僅為「估計」而非精確值；若要求精確機率，須以 convolution 逐項列舉 X̄≥2 的組合（如平均為 2、2.1、…、4）加總，作答時宜註明所採方法與近似誤差。
假設父親與兒子的身高服從二元常態分配，其中父親的身高（公分）服
從期望值為170、標準差為10 的常態分配，兒子的身高（公分）服從期
望值為170、變異數為10 的常態分配，而二者之相關係數為0.6。考慮
父親身高為175 公分的這群人，試問他們兒子的平均身高為何？其中超
過175 公分之比例為何？（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、模式設定：令父身高 X、子身高 Y 服從二元常態分配（bivariate normal distribution），X~N(170, 100)（標準差 10），Y~N(170, 10)（變異數 10），相關係數 ρ=0.6。二元常態之重要性質為：給定 X 後，Y 的條件分配仍為常態。
- 二、條件期望值公式：E(Y|X=x)=μ_Y＋ρ(σ_Y/σ_X)(x－μ_X)。其中 σ_Y=√10=3.1623，σ_X=10，回歸係數 ρσ_Y/σ_X=0.6×0.31623=0.18974。代入 x=175：E(Y|X=175)=170＋0.18974×5=170.9487，約 170.95 公分，即父高每高 1 公分，其子平均僅高約 0.19 公分（向平均數回歸現象）。
- 三、條件變異數：Var(Y|X=x)=σ_Y²(1－ρ²)=10×(1－0.36)=6.4，條件標準差為 2.5298。此值小於邊際標準差 3.1623，表示知道父親身高可降低兒子身高的不確定性。
- 四、條件機率：P(Y>175|X=175)=1－Φ[(175－170.9487)/2.5298]=1－Φ(1.601)=1－0.9453=0.0547，約 5.5%。
- 五、提醒：題目明列兒子身高「變異數為 10」，與父親標準差 10 單位不一致，若原題本意為標準差 10（變異數 100），則回歸係數與條件變異數均改變、機率將明顯不同；作答時應先聲明所採用之設定，避免閱卷誤解。
假設W 鎮每個月竊盜案件數是互相獨立的。令ߤ代表平均每個月的竊
盜案件數、ܺ代表過去36 個月的竊盜案件數的樣本平均。W 鎮警官打
算以{ܺ> 20.64} 做為檢定ܪ：ߤ= 20 ݒݏ. ܪଵ：ߤ> 20的拒絕域。假設
這36 個月的竊盜案件數之樣本平均數為21、樣本標準差為3。
試求該檢定之型一錯誤（Type I error probability）為多少？（10 分）
試求在ߤ= 21.28 時之型二錯誤（Type II error probability）為多少？
（10 分）
承子題 ，若樣本數提高為50，而拒絕域不變，試問型二錯誤將增加
或降低？（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、檢定架構：H0：μ=20 對 H1：μ>20，拒絕域為 X̄>20.64，n=36。母體標準差未知，以樣本標準差 s=3 估計，標準誤 SE=s/√n=3/6=0.5，依 CLT 採常態近似（嚴格作法應採 t 分配）。
- 二、型一錯誤（Type I error）機率：α=P(拒絕 H0|H0 為真)=P(X̄>20.64|μ=20)=1－Φ[(20.64－20)/0.5]=1－Φ(1.28)=1－0.8997=0.1003，約 0.10，即約 10% 的機率會誤判竊盜案件增加。
- 三、型二錯誤（Type II error）機率：β=P(不拒絕 H0|μ=21.28)=P(X̄≤20.64|μ=21.28)=Φ[(20.64－21.28)/0.5]=Φ(－1.28)=0.1003，檢定力（power）為 1－β=0.8997。此處 α 與 β 恰好相等，係因拒絕域臨界值剛好落在兩假設值的中點。
- 四、樣本數增至 n=50：SE=3/√50=0.4243，β=Φ[(20.64－21.28)/0.4243]=Φ(－1.5085)=0.0657，故型二錯誤「降低」（由 0.1003 降至 0.0657）。直觀理由為樣本數增加使 X̄ 的抽樣分配變窄，真實 μ 與臨界值的差距以標準誤衡量後放大，更易落入拒絕域；附帶地 α 亦降為 0.0657。
- 五、補充：若以 t 分配處理未知 σ（df=35），臨界值 t_{0.05,35}=1.6896，則 α=P(t>1.28)≈0.104，略高於常態近似值；小樣本或要求嚴謹時宜採 t 檢定並說明。
甲公司提出節能方案以減少其辦公大樓之冷氣耗電量，該節能方案實施
一年後，記錄實施前後每月冷氣耗電量（1000 瓩）如下表：
實施前5.8 6.1 5.4 6.8 8.5 9.6 7.4 6.2 5.6 4.8 4.5 3.6
實施後5.2 4.8 5.6 6.5 7.8 8.5 6.5 5.5 5.0 3.5 4.0 3.2
在0.05 顯著水準下，試檢定該節能方案是否減少冷氣耗電量。（10 分）
假設1-3 月為春季、4-6 月為夏季、7-9 月為秋季、10-12 月為冬季，將
資料依季節整理如下表。令顯著水準為0.05，在考量實施前後可能有
差異的情況下，試檢定春夏秋冬的冷氣耗電量是否相同。（15 分）
春
夏
秋
冬
實施前17.3 24.9 19.2 12.9
實施後15.6 22.8 17.0 10.7
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、第一小題屬成對樣本（paired samples）設計：同一月份實施前後各一觀測，令 D=實施前－實施後，檢定 H0：μ_D=0 對 H1：μ_D>0（方案減少耗電）。以 t 檢定處理，df=n－1=11。
- 二、計算：ΣD=8.2，D̄=0.6833；ΣD²=7.64，S_D²=[7.64－12×(0.6833)²]/11=(7.64－5.6033)/11=0.18515，s_D=0.4303；t=0.6833/(0.4303/√12)=0.6833/0.12421=5.50。
- 三、判定：t_{0.05,11}=1.796，因 5.50>1.796，拒絕 H0，在 5% 顯著水準下有充分證據顯示節能方案降低冷氣耗電，平均每月約減少 0.68（千瓩）。12 個月份中僅 1 個月（第 3 月）差異為負，其餘皆為正，方向一致。
- 四、第二小題為二因子（two-way）設計：因子 A 為季節（4 水準）、因子 B 為實施前後（2 水準），每格僅 1 筆觀測，交互作用與誤差無法分離，故須假設無交互作用（可加性），以殘差均方作為檢定主效應的誤差項。總平均 17.55，SST=157.02。
- 五、平方和與變異數分析表：SSA(季節)=2×[(16.45－17.55)²＋(23.85－17.55)²＋(18.1－17.55)²＋(11.8－17.55)²]=148.53，df=3，MSA=49.51；SSB(前後)=4×[1.0506＋1.0506]=8.405，df=1，MSB=8.405；SSE=157.02－148.53－8.405=0.085，df=3，MSE=0.02833。
- 六、結論：F_季節=49.51/0.02833=1747>F_{0.05}(3,3)=9.28；F_前後=8.405/0.02833=296.6>F_{0.05}(1,3)=10.13，兩者均拒絕 H0。故四季冷氣耗電量不全相同（夏季最高、冬季最低），且控制季節後實施後耗電顯著低於實施前，與第一小題結論一致；惟樣本僅 8 格、誤差自由度僅 3，推論宜保守解讀。
甲市鎮過去6 年之人口數（千人）如下：（每小題10 分，共20 分）
2016 2017 2018 2019 2020 2021
試用三期移動平均法預測2019 至2022 年之人口數，並計算平均絕對
誤差（Mean Absolute Deviation）。
試以平滑係數為0.8 之簡單指數平滑法，預測2017 至2022 年之人口
數，並計算平均絕對誤差。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、資料缺漏之處理：題目表格僅列出 2016 至 2021 六個年度，未附各年人口數（千人）數值，故無法計算出唯一的預測值與 MAD。依作答規範，以下列出公式、計算步驟、所需假設與判定規則，並明確標示「題目資料缺漏，無法得出唯一數值」，考生不得自行捏造數據。
- 二、三期移動平均法（3-period moving average）：預測式為 F_(t+1)=(Y_t＋Y_(t-1)＋Y_(t-2))/3。故 F_2019=(Y_2016＋Y_2017＋Y_2018)/3、F_2020=(Y_2017＋Y_2018＋Y_2019)/3、F_2021 與 F_2022 依此類推。假設為序列無明顯趨勢與季節性、最近三期等權。
- 三、移動平均之誤差衡量：MAD=Σ|Y_t－F_t|/n，計算範圍為「同時具有預測值與實際值」的年度，即 2019 至 2021 共 3 期；2022 年僅有預測、無實際值，不列入 MAD。考生應以表格列出年度、實際值、預測值、絕對誤差四欄後再加總平均。
- 四、簡單指數平滑法（simple exponential smoothing）：採 α=0.8，遞迴式 F_(t+1)=αY_t＋(1－α)F_t=0.8Y_t＋0.2F_t。起始值慣例取 F_2017=Y_2016（或令 F_2016=Y_2016），逐期求得 F_2017 至 F_2022；α 越大越貼近近期實際值、反應快但平滑度低。
- 五、指數平滑之 MAD 與注意事項：MAD=Σ|Y_t－F_t|/n，分母為 2017 至 2021 共 5 期（2017 年起方有預測值）。起始值之選擇會影響前幾期預測與 MAD，宜在答案中敘明；並可比較兩種方法之 MAD，MAD 較小者預測能力較佳，此即本題之判定規則。