民國111年 高考三級 經建行政 統計學
第2題
假設父親與兒子的身高服從二元常態分配，其中父親的身高（公分）服 從期望值為170、標準差為10 的常態分配，兒子的身高（公分）服從期 望值為170、變異數為10…
題目
假設父親與兒子的身高服從二元常態分配，其中父親的身高（公分）服 從期望值為170、標準差為10 的常態分配，兒子的身高（公分）服從期 望值為170、變異數為10 的常態分配，而二者之相關係數為0.6。考慮 父親身高為175 公分的這群人，試問他們兒子的平均身高為何？其中超 過175 公分之比例為何？（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、模式設定：令父身高 X、子身高 Y 服從二元常態分配（bivariate normal distribution），X~N(170, 100)（標準差 10），Y~N(170, 10)（變異數 10），相關係數 ρ=0.6。二元常態之重要性質為：給定 X 後，Y 的條件分配仍為常態。
- 二、條件期望值公式：E(Y|X=x)=μ_Y＋ρ(σ_Y/σ_X)(x－μ_X)。其中 σ_Y=√10=3.1623，σ_X=10，回歸係數 ρσ_Y/σ_X=0.6×0.31623=0.18974。代入 x=175：E(Y|X=175)=170＋0.18974×5=170.9487，約 170.95 公分，即父高每高 1 公分，其子平均僅高約 0.19 公分（向平均數回歸現象）。
- 三、條件變異數：Var(Y|X=x)=σ_Y²(1－ρ²)=10×(1－0.36)=6.4，條件標準差為 2.5298。此值小於邊際標準差 3.1623，表示知道父親身高可降低兒子身高的不確定性。
- 四、條件機率：P(Y>175|X=175)=1－Φ[(175－170.9487)/2.5298]=1－Φ(1.601)=1－0.9453=0.0547，約 5.5%。
- 五、提醒：題目明列兒子身高「變異數為 10」，與父親標準差 10 單位不一致，若原題本意為標準差 10（變異數 100），則回歸係數與條件變異數均改變、機率將明顯不同；作答時應先聲明所採用之設定，避免閱卷誤解。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。