民國112年 高考三級 經建行政 統計學
第1題
令Xଵ, ⋯, X表示服從指數分配（Exponential distribution）Exp(ߠ)的隨機樣本， 其機率密度函數為݂(ݔ) = ଵ ఏ݁ିೣ ഇ…
題目
令Xଵ, ⋯, X表示服從指數分配（Exponential distribution）Exp(ߠ)的隨機樣本， 其機率密度函數為݂(ݔ) = ଵ ఏ݁ିೣ ഇ, ݔ> 0。（每小題8分，共24分） 計算E(Xଵ)。（E：Expectation）（須列出計算過程） 令Y = ∑ ܺ ୀଵ ，求隨機變數Y的動差母函數（moment generating function），並回答Y的機率分配名稱。（須列出計算過程） 令Yഥ= ∑ ల సభ ，求隨機變數Yഥ的動差母函數（moment generating function）， 並回答Yഥ的機率分配名稱。（須列出計算過程）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、分配設定與基本性質：X1,…,Xn 為獨立同分布（i.i.d.）服從 Exp(θ)，機率密度 f(x)=θ^(-1)e^(-x/θ)，x>0，θ>0 為尺度參數（scale parameter）。其動差母函數（moment generating function, mgf）為 M_X(t)=E(e^(tX))=(1-θt)^(-1)，存在條件 t<1/θ；且 E(X)=θ、Var(X)=θ²，為後續計算的基礎。
- 二、第(1)小題：E(X1)=∫₀^∞ x·θ^(-1)e^(-x/θ)dx。令 u=x/θ，則 x=θu、dx=θdu，積分化為 θ∫₀^∞ u e^(-u)du=θΓ(2)=θ·1=θ。故 E(X1)=θ，即指數分配的期望值等於其尺度參數，亦代表等候時間的平均長度；此結果與 Var(X1)=θ² 共同決定分配的離散程度。
- 三、第(2)小題：由獨立性，M_Y(t)=E[e^(tΣXi)]=ΠE[e^(tXi)]=[M_X(t)]^n=(1-θt)^(-n)，t<1/θ。對照 Gamma 分配 Gamma(α,β)（shape α、scale β）之 mgf (1-βt)^(-α)，可知 Y~Gamma(n,θ)，即 Erlang 分配；當 n 為正整數時，Y 可詮釋為 n 個獨立指數等候時間之和。
- 四、第(3)小題：M_Ȳ(t)=E[e^(t·Y/n)]=M_Y(t/n)=(1-θt/n)^(-n)，|t|<n/θ。對照 Gamma mgf 得 Ȳ~Gamma(n, θ/n)，其期望值為 n·(θ/n)=θ、變異數為 n·(θ/n)²=θ²/n，與中央極限定理下樣本平均數的變異數一致。另可寫成 2nȲ/θ=2Y/θ~χ²(2n)，為變異數分析與信賴區間推導的常用結果。
- 五、作答提醒：三小題環環相扣，務必寫出積分代換與 mgf 相乘的過程；辨識分配時應同時指出參數順序（形狀 n、尺度 θ），避免與 rate 參數 λ=1/θ 的寫法混淆。若以 rate 參數表示，則 f(x)=λe^(-λx)，此時 Y~Gamma(n, rate λ)、Ȳ~Gamma(n, rate nλ)，兩套寫法不可混用。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。