考慮簡單線性迴歸模型，ݕ௜= ߚ଴+ ߚଵݔ௜+ ߳௜, ߳௜݅݅݀ ~ ܰ（0, ߪଶ），ߚመ଴和ߚመଵ分 別為β0與β1之最小平方估計式，計算下列各子題：（…

題目

考慮簡單線性迴歸模型，ݕ௜= ߚ଴+ ߚଵݔ௜+ ߳௜, ߳௜݅݅݀ ~ ܰ（0, ߪଶ），ߚመ଴和ߚመଵ分 別為β0與β1之最小平方估計式，計算下列各子題：（每小題10分，共20分） 計算Cov(ݕ,ഥߚመଵ)，其中ݕഥ為反應變數Y之平均數，Cov是指共變異數 （Covariance）。 計算Var(ߚመ଴+0.8ߚመଵ)，Var是指變異數（Variance）。

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、模型與估計式性質：簡單線性迴歸 yi=β0+β1xi+εi，εi i.i.d.~N(0,σ²)。令 Sxx=Σ(xi-x̄)²，則 β̂1=Sxy/Sxx=β1+Σ(xi-x̄)εi/Sxx，β̂0=ȳ-β̂1x̄。已知 Var(β̂1)=σ²/Sxx、Var(β̂0)=σ²[1/n+x̄²/Sxx]、Cov(β̂0,β̂1)=-σ²x̄/Sxx，此三式為本題兩小題的計算基礎，宜先列出再代入。
• 二、第(1)小題 Cov(ȳ,β̂1)：因 ȳ=β0+β1x̄+ε̄，故 Cov(ȳ,β̂1)=Cov(ε̄, Σ(xi-x̄)εi/Sxx)=(σ²/nSxx)Σ(xi-x̄)=0，關鍵在於最小平方殘差和為零，即 Σ(xi-x̄)=0。結論為 0；在常態誤差下兩者尚具獨立性，表示樣本平均數不提供斜率估計的額外訊息，此即迴歸參數估計的正交性。
• 三、第(2)小題：Var(β̂0+0.8β̂1)=Var(β̂0)+0.64Var(β̂1)+2(0.8)Cov(β̂0,β̂1)=σ²[1/n+x̄²/Sxx]+0.64σ²/Sxx-1.6σ²x̄/Sxx=σ²[1/n+(x̄²-1.6x̄+0.64)/Sxx]=σ²[1/n+(x̄-0.8)²/Sxx]。計算時須注意共變異數為負值，展開後交叉項使變異數下降。
• 四、結果解釋與延伸：β̂0+0.8β̂1 即迴歸線在 x=0.8 處的配適值 ŷ(0.8)，故其變異數為該點平均反應估計之變異數，形式與 Var(ŷ0)=σ²[1/n+(x0-x̄)²/Sxx] 相同；當 x̄=0.8 時變異數最小，僅剩 σ²/n。實務上 σ² 未知，以 MSE=SSE/(n-2) 取代後，(β̂0+0.8β̂1-μ)/√{MSE[1/n+(x̄-0.8)²/Sxx]} 服從 t(n-2)，可用於建構信賴區間。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

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