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民國112年 高考三級 經建行政 統計學收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
令Xଵ, ⋯, X表示服從指數分配（Exponential distribution）Exp(ߠ)的隨機樣本，
其機率密度函數為݂(ݔ) =
ଵ
ఏ݁ିೣ
ഇ, ݔ> 0。（每小題8分，共24分）
計算E(Xଵ)。（E：Expectation）（須列出計算過程）
令Y = ∑
ܺ
ୀଵ
，求隨機變數Y的動差母函數（moment generating
function），並回答Y的機率分配名稱。（須列出計算過程）
令Yഥ=
∑
ల
సభ
，求隨機變數Yഥ的動差母函數（moment generating function），
並回答Yഥ的機率分配名稱。（須列出計算過程）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、分配設定與基本性質：X1,…,Xn 為獨立同分布（i.i.d.）服從 Exp(θ)，機率密度 f(x)=θ^(-1)e^(-x/θ)，x>0，θ>0 為尺度參數（scale parameter）。其動差母函數（moment generating function, mgf）為 M_X(t)=E(e^(tX))=(1-θt)^(-1)，存在條件 t<1/θ；且 E(X)=θ、Var(X)=θ²，為後續計算的基礎。 二、第(1)小題：E(X1)=∫₀^∞ x·θ^(-1)e^(-x/θ)dx。令 u=x/θ，則 x=θu、dx=θdu，積分化為 θ∫₀^∞ u e^(-u)du=θΓ(2)=θ·1=θ。故 E(X1)=θ，即指數分配的期望值等於其尺度參數，亦代表等候時間的平均長度；此結果與 Var(X1)=θ² 共同決定分配的離散程度。 三、第(2)小題：由獨立性，M_Y(t)=E[e^(tΣXi)]=ΠE[e^(tXi)]=[M_X(t)]^n=(1-θt)^(-n)，t<1/θ。對照 Gamma 分配 Gamma(α,β)（shape α、scale β）之 mgf (1-βt)^(-α)，可知 Y~Gamma(n,θ)，即 Erlang 分配；當 n 為正整數時，Y 可詮釋為 n 個獨立指數等候時間之和。 四、第(3)小題：M_Ȳ(t)=E[e^(t·Y/n)]=M_Y(t/n)=(1-θt/n)^(-n)，|t|<n/θ。對照 Gamma mgf 得 Ȳ~Gamma(n, θ/n)，其期望值為 n·(θ/n)=θ、變異數為 n·(θ/n)²=θ²/n，與中央極限定理下樣本平均數的變異數一致。另可寫成 2nȲ/θ=2Y/θ~χ²(2n)，為變異數分析與信賴區間推導的常用結果。 五、作答提醒：三小題環環相扣，務必寫出積分代換與 mgf 相乘的過程；辨識分配時應同時指出參數順序（形狀 n、尺度 θ），避免與 rate 參數 λ=1/θ 的寫法混淆。若以 rate 參數表示，則 f(x)=λe^(-λx)，此時 Y~Gamma(n, rate λ)、Ȳ~Gamma(n, rate nλ)，兩套寫法不可混用。
考慮簡單線性迴歸模型，ݕ= ߚ+ ߚଵݔ+ ߳, ߳݅݅݀
~ ܰ（0, ߪଶ），ߚመ和ߚመଵ分
別為β0與β1之最小平方估計式，計算下列各子題：（每小題10分，共20分）
計算Cov(ݕ,ഥߚመଵ)，其中ݕഥ為反應變數Y之平均數，Cov是指共變異數
（Covariance）。
計算Var(ߚመ+0.8ߚመଵ)，Var是指變異數（Variance）。
參考解答（AI 生成，非官方） 一、模型與估計式性質：簡單線性迴歸 yi=β0+β1xi+εi，εi i.i.d.~N(0,σ²)。令 Sxx=Σ(xi-x̄)²，則 β̂1=Sxy/Sxx=β1+Σ(xi-x̄)εi/Sxx，β̂0=ȳ-β̂1x̄。已知 Var(β̂1)=σ²/Sxx、Var(β̂0)=σ²[1/n+x̄²/Sxx]、Cov(β̂0,β̂1)=-σ²x̄/Sxx，此三式為本題兩小題的計算基礎，宜先列出再代入。 二、第(1)小題 Cov(ȳ,β̂1)：因 ȳ=β0+β1x̄+ε̄，故 Cov(ȳ,β̂1)=Cov(ε̄, Σ(xi-x̄)εi/Sxx)=(σ²/nSxx)Σ(xi-x̄)=0，關鍵在於最小平方殘差和為零，即 Σ(xi-x̄)=0。結論為 0；在常態誤差下兩者尚具獨立性，表示樣本平均數不提供斜率估計的額外訊息，此即迴歸參數估計的正交性。 三、第(2)小題：Var(β̂0+0.8β̂1)=Var(β̂0)+0.64Var(β̂1)+2(0.8)Cov(β̂0,β̂1)=σ²[1/n+x̄²/Sxx]+0.64σ²/Sxx-1.6σ²x̄/Sxx=σ²[1/n+(x̄²-1.6x̄+0.64)/Sxx]=σ²[1/n+(x̄-0.8)²/Sxx]。計算時須注意共變異數為負值，展開後交叉項使變異數下降。 四、結果解釋與延伸：β̂0+0.8β̂1 即迴歸線在 x=0.8 處的配適值 ŷ(0.8)，故其變異數為該點平均反應估計之變異數，形式與 Var(ŷ0)=σ²[1/n+(x0-x̄)²/Sxx] 相同；當 x̄=0.8 時變異數最小，僅剩 σ²/n。實務上 σ² 未知，以 MSE=SSE/(n-2) 取代後，(β̂0+0.8β̂1-μ)/√{MSE[1/n+(x̄-0.8)²/Sxx]} 服從 t(n-2)，可用於建構信賴區間。
有關於汽車碳氫化合物排放量（克/英里）的研究，記錄碳氫化合物排放
量Y（100克/公里），和相對應的累積里程數X（以1000公里為單位）。初步
整理樣本資料如下所示：
190.2356
212.9375
4086.6461
n
n
n
i
i
i
i
i
i
n
x
y
x
，
，
，
，
4152.344
3808.8281
n
n
i
i
i
i
i
y
x y
，
。
使用以上資料回答下列問題，請詳細將所使用之公式及計算過程列出。
（每小題9分，共36分）
計算最小平方迴歸線。（計算至小數點後4位數）
迴歸判定係數（ܴଶ）為何？
顯著水準為0.05，檢定迴歸斜率是否顯著異於0.16。
在x=25時，求對應之反應變數Y預測值的95%預測區間。
（10,0.025
9,0.025
10,0.05
9,0.05
2.228
2.262
1.812
1.833
t
t
t
t
，
，
，
）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、資料整理與樣本數判定：題附 t 值含 df=9，且 SST=Σy²-(Σy)²/n 須為正，故推得 n=11。Σx=190.2356、Σy=212.9375、Σx²=4086.6461、Σy²=4152.344、Σxy=3808.8281。計算得 x̄=17.2941、ȳ=19.3580；Sxx=Σx²-(Σx)²/n=796.6840；Syy=Σy²-(Σy)²/n=30.3096；Sxy=Σxy-(Σx)(Σy)/n=126.2560。 二、第(1)小題：β̂1=Sxy/Sxx=126.2560/796.6840=0.1585；β̂0=ȳ-β̂1x̄=19.3580-0.1585×17.2941=16.6172。最小平方迴歸線為 ŷ=16.6172+0.1585x。斜率為正，表示累積里程每增加 1000 公里，碳氫化合物排放量平均增加約 0.1585 單位（100 克/公里）。 三、第(2)小題：R²=Sxy²/(Sxx·Syy)=(126.2560)²/(796.6840×30.3096)=15940.58/24147.14=0.6601。或以 SSE=Syy-β̂1Sxy=30.3096-20.0087=10.3009，R²=1-SSE/Syy=1-0.3399=0.6601。約 66.01% 的排放量變異可由累積里程解釋，其餘為模型未涵蓋的隨機誤差。 四、第(3)小題：H0:β1=0.16，H1:β1≠0.16，α=0.05，df=n-2=9，棄卻域為 |t|>2.262。MSE=SSE/9=1.1445，s=1.0698，SE(β̂1)=√(MSE/Sxx)=√(1.1445/796.6840)=0.0379。t=(0.1585-0.16)/0.0379=-0.040，|t|=0.040<2.262，不拒絕 H0，無充分證據顯示迴歸斜率異於 0.16。 五、第(4)小題：x0=25 時 ŷ0=16.6172+0.1585×25=20.5791。SE_pred=s√[1+1/n+(x0-x̄)²/Sxx]=1.0698√[1+0.0909+(7.7059)²/796.6840]=1.0698×1.0796=1.1550。95% 預測區間為 20.5791±2.262×1.1550=20.5791±2.6125，即 (17.9666, 23.1916)。因預測區間含個別觀測誤差，故必然較平均反應的信賴區間為寬。
觀察記錄某一城市在最近三個月內（90天）每天汽機車意外事故的次數，
其次數分配如下所示：
意外事故次數
3 4
觀察天數
32 34 17 6 1
檢定每天汽機車意外事故次數是否服從波松（Poisson）分配。
寫出虛無假設與對立假設。（5分）
在顯著水準α=0.05時，寫出檢定統計量、棄卻域和結論。（須列出計算
過程）（15分）
（
2,0.025
3,0.025
4,0.025
7.38
9.35
11.14
，
，
，
2,0.05
3,0.05
4,0.05
5.99
7.81
9.49
，
，
）
波松分配累積機率表
x
λ = E(X)
0.5
1.0
2.0
0.607
0.368
0.135
0.910
0.736
0.406
0.986
0.920
0.677
0.998
0.981
0.857
1.000
0.996
0.947
1.000
0.999
0.983
1.000
1.000
0.995
1.000
1.000
0.999
參考解答（AI 生成，非官方） 一、第(1)小題假設：H0：每天汽機車意外事故次數 Y 服從 Poisson 分配（參數 λ 未指定，須由樣本估計）；H1：Y 不服從 Poisson 分配。採 Pearson χ² 適合度檢定，統計量為 Σ(Oi-Ei)²/Ei，因 λ 為由資料估計的參數，自由度須再扣 1。 二、參數估計與期望次數：事故 0、1、2、3、4 次之觀察天數分別為 32、34、17、6、1，合計 90 天。λ̂=ȳ=(0×32+1×34+2×17+3×6+4×1)/90=90/90=1.0。以 Poisson(1) 之機率 0.3679、0.3679、0.1839、0.0613、0.0190 分別乘 90，得期望次數 33.11、33.11、16.55、5.52、1.71。 三、檢定統計量與棄卻域：χ²=(32-33.11)²/33.11+(34-33.11)²/33.11+(17-16.55)²/16.55+(6-5.52)²/5.52+(1-1.71)²/1.71=0.0372+0.0240+0.0120+0.0421+0.2941=0.4092。自由度=組數5-估計參數1-1=3，α=0.05 時 χ²(3,0.05)=7.81，故棄卻域為 χ²>7.81。 四、結論：χ²=0.4092<7.81，未落入棄卻域，不拒絕 H0，在 α=0.05 下無充分證據否定每日事故次數服從 Poisson(1) 分配。可進一步說明 λ̂=1 表示平均每天約發生 1 次事故，變異數亦約為 1，與 Poisson 分配「平均數等於變異數」的特性相符。 五、方法限制與建議：最後一組期望次數 1.71 小於 5，卡方近似可能不佳，建議將相鄰組合併（如 3 次以上併為一組）後重算，屆時自由度隨組數調整。另須強調不拒絕 H0 僅表示資料與 Poisson 分配相容，並非證明分配為真；樣本僅 90 天，檢定力有限，結論宜保守解讀。