民國112年 高考三級 經建行政 統計學
第4題
觀察記錄某一城市在最近三個月內（90天）每天汽機車意外事故的次數， 其次數分配如下所示： 意外事故次數 3 4 觀察天數 32 34 17 6 1 檢定每天汽機…
題目
觀察記錄某一城市在最近三個月內（90天）每天汽機車意外事故的次數， 其次數分配如下所示： 意外事故次數 3 4 觀察天數 32 34 17 6 1 檢定每天汽機車意外事故次數是否服從波松（Poisson）分配。 寫出虛無假設與對立假設。（5分） 在顯著水準α=0.05時，寫出檢定統計量、棄卻域和結論。（須列出計算 過程）（15分） （ 2,0.025 3,0.025 4,0.025 7.38 9.35 11.14 ， ， ， 2,0.05 3,0.05 4,0.05 5.99 7.81 9.49 ， ， ） 波松分配累積機率表 x λ = E(X) 0.5 1.0 2.0 0.607 0.368 0.135 0.910 0.736 0.406 0.986 0.920 0.677 0.998 0.981 0.857 1.000 0.996 0.947 1.000 0.999 0.983 1.000 1.000 0.995 1.000 1.000 0.999
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、第(1)小題假設：H0：每天汽機車意外事故次數 Y 服從 Poisson 分配（參數 λ 未指定，須由樣本估計）；H1：Y 不服從 Poisson 分配。採 Pearson χ² 適合度檢定，統計量為 Σ(Oi-Ei)²/Ei，因 λ 為由資料估計的參數，自由度須再扣 1。
- 二、參數估計與期望次數：事故 0、1、2、3、4 次之觀察天數分別為 32、34、17、6、1，合計 90 天。λ̂=ȳ=(0×32+1×34+2×17+3×6+4×1)/90=90/90=1.0。以 Poisson(1) 之機率 0.3679、0.3679、0.1839、0.0613、0.0190 分別乘 90，得期望次數 33.11、33.11、16.55、5.52、1.71。
- 三、檢定統計量與棄卻域：χ²=(32-33.11)²/33.11+(34-33.11)²/33.11+(17-16.55)²/16.55+(6-5.52)²/5.52+(1-1.71)²/1.71=0.0372+0.0240+0.0120+0.0421+0.2941=0.4092。自由度=組數5-估計參數1-1=3，α=0.05 時 χ²(3,0.05)=7.81，故棄卻域為 χ²>7.81。
- 四、結論：χ²=0.4092<7.81，未落入棄卻域，不拒絕 H0，在 α=0.05 下無充分證據否定每日事故次數服從 Poisson(1) 分配。可進一步說明 λ̂=1 表示平均每天約發生 1 次事故，變異數亦約為 1，與 Poisson 分配「平均數等於變異數」的特性相符。
- 五、方法限制與建議：最後一組期望次數 1.71 小於 5，卡方近似可能不佳，建議將相鄰組合併（如 3 次以上併為一組）後重算，屆時自由度隨組數調整。另須強調不拒絕 H0 僅表示資料與 Poisson 分配相容，並非證明分配為真；樣本僅 90 天，檢定力有限，結論宜保守解讀。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。