有關於汽車碳氫化合物排放量（克/英里）的研究，記錄碳氫化合物排放 量Y（100克/公里），和相對應的累積里程數X（以1000公里為單位）。初步 整理樣本資料如下…

題目

有關於汽車碳氫化合物排放量（克/英里）的研究，記錄碳氫化合物排放 量Y（100克/公里），和相對應的累積里程數X（以1000公里為單位）。初步 整理樣本資料如下所示： 190.2356 212.9375 4086.6461 n n n i i i i i i n x y x ， ， ， ， 4152.344 3808.8281 n n i i i i i y x y ， 。 使用以上資料回答下列問題，請詳細將所使用之公式及計算過程列出。 （每小題9分，共36分） 計算最小平方迴歸線。（計算至小數點後4位數） 迴歸判定係數（ܴଶ）為何？ 顯著水準為0.05，檢定迴歸斜率是否顯著異於0.16。 在x=25時，求對應之反應變數Y預測值的95%預測區間。 （10,0.025 9,0.025 10,0.05 9,0.05 2.228 2.262 1.812 1.833 t t t t ， ， ， ）

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、資料整理與樣本數判定：題附 t 值含 df=9，且 SST=Σy²-(Σy)²/n 須為正，故推得 n=11。Σx=190.2356、Σy=212.9375、Σx²=4086.6461、Σy²=4152.344、Σxy=3808.8281。計算得 x̄=17.2941、ȳ=19.3580；Sxx=Σx²-(Σx)²/n=796.6840；Syy=Σy²-(Σy)²/n=30.3096；Sxy=Σxy-(Σx)(Σy)/n=126.2560。
• 二、第(1)小題：β̂1=Sxy/Sxx=126.2560/796.6840=0.1585；β̂0=ȳ-β̂1x̄=19.3580-0.1585×17.2941=16.6172。最小平方迴歸線為 ŷ=16.6172+0.1585x。斜率為正，表示累積里程每增加 1000 公里，碳氫化合物排放量平均增加約 0.1585 單位（100 克/公里）。
• 三、第(2)小題：R²=Sxy²/(Sxx·Syy)=(126.2560)²/(796.6840×30.3096)=15940.58/24147.14=0.6601。或以 SSE=Syy-β̂1Sxy=30.3096-20.0087=10.3009，R²=1-SSE/Syy=1-0.3399=0.6601。約 66.01% 的排放量變異可由累積里程解釋，其餘為模型未涵蓋的隨機誤差。
• 四、第(3)小題：H0:β1=0.16，H1:β1≠0.16，α=0.05，df=n-2=9，棄卻域為 |t|>2.262。MSE=SSE/9=1.1445，s=1.0698，SE(β̂1)=√(MSE/Sxx)=√(1.1445/796.6840)=0.0379。t=(0.1585-0.16)/0.0379=-0.040，|t|=0.040<2.262，不拒絕 H0，無充分證據顯示迴歸斜率異於 0.16。
• 五、第(4)小題：x0=25 時 ŷ0=16.6172+0.1585×25=20.5791。SE_pred=s√[1+1/n+(x0-x̄)²/Sxx]=1.0698√[1+0.0909+(7.7059)²/796.6840]=1.0698×1.0796=1.1550。95% 預測區間為 20.5791±2.262×1.1550=20.5791±2.6125，即 (17.9666, 23.1916)。因預測區間含個別觀測誤差，故必然較平均反應的信賴區間為寬。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

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