民國114年 高考三級 經建行政 統計學
第1題
假設X 與Y 的二元機率密度函數為（每小題4 分，共20 分） f(x, y)= C(x+2y) 0≦x ≦1; 0 ≦y ≦1 =0 其他 計算C 值。 計算…
題目
假設X 與Y 的二元機率密度函數為（每小題4 分，共20 分） f(x, y)= C(x+2y) 0≦x ≦1; 0 ≦y ≦1 =0 其他 計算C 值。 計算X 的期望值。 計算機率P(X>0.5)。 計算Y 的期望值。 計算Y 大於1/3 的機率。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、求常數 C：聯合機率密度函數必須滿足總機率為 1，即 ∫₀¹∫₀¹ C(x+2y) dx dy = 1。先對 x 積分得 C[x²/2 + 2xy]₀¹ = C(1/2 + 2y)，再對 y 由 0 積到 1，得 C(1/2 + 1) = 3C/2 = 1，故 C = 2/3。可再以邊際密度 f_X(x) = (2/3)(x+1)、f_Y(y) = (2/3)(1/2+2y) 各自積分為 1 來驗算。
- 二、X 的期望值：E(X) = ∫₀¹∫₀¹ x·(2/3)(x+2y) dx dy = (2/3)∫₀¹(1/3 + y) dy = (2/3)(1/3 + 1/2) = (2/3)(5/6) = 5/9 ≈ 0.5556。由於聯合密度隨 x 遞增，期望值略大於區間中點 0.5，結果合理。
- 三、P(X > 0.5)：對 x 由 0.5 積到 1、y 由 0 積到 1，P(X>0.5) = (2/3)∫₀·₅¹∫₀¹(x+2y) dy dx = (2/3)∫₀·₅¹(x+1) dx = (2/3)(7/8) = 7/12 ≈ 0.5833。此值大於 0.5，與密度右偏於 x 的設定一致。
- 四、Y 的期望值：E(Y) = ∫₀¹∫₀¹ y·(2/3)(x+2y) dx dy = (2/3)∫₀¹(y/2 + 2y²) dy = (2/3)(1/4 + 2/3) = (2/3)(11/12) = 11/18 ≈ 0.6111。因 y 的係數為 2，Y 的期望值大於 X 的期望值，符合直覺。
- 五、P(Y > 1/3)：P(Y>1/3) = (2/3)∫₁/₃¹∫₀¹(x+2y) dx dy = (2/3)∫₁/₃¹(1/2 + 2y) dy = (2/3)[1/3 + (1 − 1/9)] = (2/3)(11/9) = 22/27 ≈ 0.8148。亦可由邊際密度 f_Y(y) 直接積分求得相同結果。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。