民國114年 高考三級 經建行政 統計學考古題
民國114年 高考三級 經建行政 統計學收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
假設X 與Y 的二元機率密度函數為（每小題4 分，共20 分）
f(x, y)= C(x+2y)
0≦x ≦1; 0 ≦y ≦1
=0 其他
計算C 值。
計算X 的期望值。
計算機率P(X>0.5)。
計算Y 的期望值。
計算Y 大於1/3 的機率。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、求常數 C：聯合機率密度函數必須滿足總機率為 1，即 ∫₀¹∫₀¹ C(x+2y) dx dy = 1。先對 x 積分得 C[x²/2 + 2xy]₀¹ = C(1/2 + 2y)，再對 y 由 0 積到 1，得 C(1/2 + 1) = 3C/2 = 1，故 C = 2/3。可再以邊際密度 f_X(x) = (2/3)(x+1)、f_Y(y) = (2/3)(1/2+2y) 各自積分為 1 來驗算。
- 二、X 的期望值：E(X) = ∫₀¹∫₀¹ x·(2/3)(x+2y) dx dy = (2/3)∫₀¹(1/3 + y) dy = (2/3)(1/3 + 1/2) = (2/3)(5/6) = 5/9 ≈ 0.5556。由於聯合密度隨 x 遞增，期望值略大於區間中點 0.5，結果合理。
- 三、P(X > 0.5)：對 x 由 0.5 積到 1、y 由 0 積到 1，P(X>0.5) = (2/3)∫₀·₅¹∫₀¹(x+2y) dy dx = (2/3)∫₀·₅¹(x+1) dx = (2/3)(7/8) = 7/12 ≈ 0.5833。此值大於 0.5，與密度右偏於 x 的設定一致。
- 四、Y 的期望值：E(Y) = ∫₀¹∫₀¹ y·(2/3)(x+2y) dx dy = (2/3)∫₀¹(y/2 + 2y²) dy = (2/3)(1/4 + 2/3) = (2/3)(11/12) = 11/18 ≈ 0.6111。因 y 的係數為 2，Y 的期望值大於 X 的期望值，符合直覺。
- 五、P(Y > 1/3)：P(Y>1/3) = (2/3)∫₁/₃¹∫₀¹(x+2y) dx dy = (2/3)∫₁/₃¹(1/2 + 2y) dy = (2/3)[1/3 + (1 − 1/9)] = (2/3)(11/9) = 22/27 ≈ 0.8148。亦可由邊際密度 f_Y(y) 直接積分求得相同結果。
三家A、B、C 品牌之洗衣機用戶，各隨機抽取400、600 和800 人，
調查其下次會再買同一品牌洗衣機之意願。調查數據如下：
意願\品牌
A
B
C
願意
不願意
總和
請檢定三家用戶下次購買相同品牌之洗衣機比例是否全部相等。
⑴列出虛無假設H0 和對立假設H1。（3 分）
⑵寫出檢定統計量及其在H0 為真下的分配。（5 分）
⑶以臨界值方法決定檢定結果。顯著水準為0.05。（3 分）
⑷計算p 值，並據以決定檢定結果。顯著水準為0.05。（5 分）
若只有A 和B 兩種品牌，請檢定A 和B 品牌用戶下次購買相同品
牌的比例是否相等。
⑴列出H0 和H1。（3 分）
⑵請使用和 不同的檢定統計量，寫出其在H0 為真下的分配。請
說明何以為此分配。（6 分）
⑶計算p 值，並據以決定檢定結果。顯著水準為0.05。（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、檢定型態與假設：本題屬三個母體比例的齊一性檢定（test of homogeneity），等同於 3×2 列聯表的獨立性檢定。虛無假設 H0：p_A = p_B = p_C，即三品牌用戶再購同品牌的比例全部相等；對立假設 H1：三者不全相等，至少有一品牌的比例與其他品牌不同。總樣本數 n = 400 + 600 + 800 = 1800，顯著水準 α = 0.05。
- 二、檢定統計量：χ² = ΣᵢΣⱼ (Oᵢⱼ − Eᵢⱼ)² / Eᵢⱼ，其中期望次數 Eᵢⱼ = (第 i 列總和 × 第 j 行總和) / n。在 H0 為真且各格期望次數均不小於 5 的條件下，χ² 近似服從卡方分配，自由度 df = (3−1)(2−1) = 2，記為 χ² ~ χ²(2)。
- 三、臨界值法：查卡方表得 χ²₀.₀₅(2) = 5.991，拒絕域為 {χ² > 5.991}。惟題目表格中「願意／不願意」各格觀測次數未列出，無法計算 χ² 觀測值，題目資料缺漏，無法得出唯一數值；作答時應先算出各 Eᵢⱼ 再代入公式，若 χ² 觀測值大於 5.991 則拒絕 H0，否則不拒絕 H0。
- 四、p 值法：p 值 = P(χ²(2) ≥ χ²_obs)，判定規則為 p 值 < 0.05 時拒絕 H0，p 值 ≥ 0.05 時不拒絕 H0。p 值法與臨界值法結論必然一致，因 χ²_obs > 5.991 等價於 p 值 < 0.05。同樣受限於細格次數缺漏，僅能寫出判定規則而無法算出數值。
- 五、僅比較 A、B 兩品牌：H0：p_A = p_B，H1：p_A ≠ p_B。改用兩獨立樣本比例之 z 檢定，z = (p̂_A − p̂_B) / √[p̂(1−p̂)(1/400 + 1/600)]，p̂ 為合併比例。H0 下 z 近似標準常態 N(0,1)，理由為兩樣本相互獨立且各為二項分配，依中央極限定理其標準化差值趨近常態。拒絕域 |z| > 1.96，p 值 = 2P(Z ≥ |z|)；細格次數缺漏，無法得出唯一數值。
工程師想知道供應商生產的電池平均壽命是否小於240 小時。隨機
抽取電池36 件（n=36），其樣本平均值為235 小時。
假設電池壽命服從常態分配且母體標準差為12 小時。
請檢定電池平均壽命是否低於240 小時。顯著水準為0.1。（5 分）
續上題，寫出檢定統計量分配的拒絕區之臨界值，並寫出此臨界值
對應之樣本平均值。（4 分）
若真實的電池壽命平均值分別為236 和235 小時，請分別計算他
們的型II 誤差機率及檢定力。（8 分）
若只有隨機抽取的電池改為100 件（n=100），其他不變。若真實的
電池壽命平均值分別為236 和235 小時，請分別計算他們的型II
誤差機率及檢定力。顯著水準為0.1。（8 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、檢定設定與執行：H0：μ ≥ 240，H1：μ < 240（左尾檢定），α = 0.1，母體標準差已知 σ = 12，採 z 檢定。z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) = (235 − 240)/(12/6) = −2.5。臨界值 −z₀.₁ = −1.2816，因 −2.5 < −1.2816 落在拒絕域，拒絕 H0，結論為有充分證據顯示電池平均壽命低於 240 小時。
- 二、拒絕區臨界值與對應樣本平均：拒絕域為 {z < −1.2816}，換算成樣本平均數之臨界值 x̄_c = μ₀ − z₀.₁·σ/√n = 240 − 1.2816×2 = 237.4368。亦即當樣本平均數小於 237.4368 小時即拒絕 H0，本例 x̄ = 235 小於該值，故拒絕 H0。
- 三、真實平均為 236 小時：型 II 誤差 β = P(不拒絕 H0 | μ = 236) = P(x̄ > 237.4368 | μ = 236) = P(Z > (237.4368 − 236)/2) = P(Z > 0.7184) ≈ 0.2362；檢定力 = 1 − β ≈ 0.7638。
- 四、真實平均為 235 小時：β = P(Z > (237.4368 − 235)/2) = P(Z > 1.2184) ≈ 0.1115；檢定力 = 1 − β ≈ 0.8885。真實平均離 μ₀ 越遠，β 越小、檢定力越高。
- 五、樣本數改為 n = 100：σ/√n = 1.2，x̄_c = 240 − 1.2816×1.2 = 238.4621。μ = 236 時 z = (238.4621 − 236)/1.2 ≈ 2.0518，β ≈ 0.0201、檢定力 ≈ 0.9799；μ = 235 時 z = (238.4621 − 235)/1.2 ≈ 2.8851，β ≈ 0.0020、檢定力 ≈ 0.9980。顯示樣本數增加可同時降低 β 並提升檢定力。
A 和B 兩家公司皆生產相同規格之端子。分別自A 和B 公司隨機抽
取端子並衡量其膜厚，數據如表所示。
公司
膜厚(單位：mm)
A
B
假設兩家生產的端子膜厚變異數相等，請寫出膜厚變異數之估計量
及估計值。（6 分）
請寫出兩家膜厚平均值差之估計量及估計值。（4 分）
續題 ，欲比較兩家膜厚之平均值是否有差異，請問該用什麼統計
方法？結論為何？顯著水準為0.05。假設兩家膜厚皆服從常態分
配。（10 分）
續題 ，請估計兩家膜厚平均值差之95%信賴區間。（5 分）
附表一：Z 值表
附表二：t 值表
附表三：X^2 值表
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、共同變異數的估計量：在兩母體變異數相等的假設下，採用合併樣本變異數（pooled variance）S_p² = [(n_A − 1)S_A² + (n_B − 1)S_B²] / (n_A + n_B − 2)，其中 S_A²、S_B² 分別為兩家公司膜厚的樣本變異數，自由度為 n_A + n_B − 2。S_p² 為共同母體變異數 σ² 的不偏估計量。由於題目未列出兩公司的實際膜厚觀測值，題目資料缺漏，無法得出唯一數值，僅能寫出估計式與計算步驟。
- 二、平均值差的估計量：以樣本平均數差 x̄_A − x̄_B 估計母體平均數差 μ_A − μ_B，此估計量為不偏估計，其變異數為 Var(x̄_A − x̄_B) = σ²(1/n_A + 1/n_B)，實務上以 S_p²(1/n_A + 1/n_B) 估計之。同樣因原始數據缺漏，無法算出點估計值。
- 三、統計方法與檢定程序：應採兩獨立樣本 t 檢定（pooled two-sample t test），檢定統計量 t = (x̄_A − x̄_B) / √[S_p²(1/n_A + 1/n_B)]，在 H0：μ_A = μ_B 為真且兩母體均為常態、變異數相等之假設下服從自由度 n_A + n_B − 2 的 t 分配。拒絕域為 |t| > t₀.₀₂₅(n_A + n_B − 2)；因數據缺漏，無法得出檢定結論。
- 四、95% 信賴區間： (x̄_A − x̄_B) ± t₀.₀₂₅(n_A + n_B − 2)·√[S_p²(1/n_A + 1/n_B)]。判讀規則為：若區間涵蓋 0，則在 α = 0.05 下不拒絕兩平均數相等之假設；若區間不含 0，則拒絕 H0。此結論與第三小題的雙尾 t 檢定結果一致。因膜厚觀測值與樣本數未提供，題目資料缺漏，無法得出唯一數值區間。