民國114年 高考三級 經建行政 統計學
第2題
三家A、B、C 品牌之洗衣機用戶，各隨機抽取400、600 和800 人， 調查其下次會再買同一品牌洗衣機之意願。調查數據如下： 意願\品牌 A B C 願意…
題目
三家A、B、C 品牌之洗衣機用戶，各隨機抽取400、600 和800 人， 調查其下次會再買同一品牌洗衣機之意願。調查數據如下： 意願\品牌 A B C 願意 不願意 總和 請檢定三家用戶下次購買相同品牌之洗衣機比例是否全部相等。 ⑴列出虛無假設H0 和對立假設H1。（3 分） ⑵寫出檢定統計量及其在H0 為真下的分配。（5 分） ⑶以臨界值方法決定檢定結果。顯著水準為0.05。（3 分） ⑷計算p 值，並據以決定檢定結果。顯著水準為0.05。（5 分） 若只有A 和B 兩種品牌，請檢定A 和B 品牌用戶下次購買相同品 牌的比例是否相等。 ⑴列出H0 和H1。（3 分） ⑵請使用和 不同的檢定統計量，寫出其在H0 為真下的分配。請 說明何以為此分配。（6 分） ⑶計算p 值，並據以決定檢定結果。顯著水準為0.05。（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、檢定型態與假設：本題屬三個母體比例的齊一性檢定（test of homogeneity），等同於 3×2 列聯表的獨立性檢定。虛無假設 H0：p_A = p_B = p_C，即三品牌用戶再購同品牌的比例全部相等；對立假設 H1：三者不全相等，至少有一品牌的比例與其他品牌不同。總樣本數 n = 400 + 600 + 800 = 1800，顯著水準 α = 0.05。
- 二、檢定統計量：χ² = ΣᵢΣⱼ (Oᵢⱼ − Eᵢⱼ)² / Eᵢⱼ，其中期望次數 Eᵢⱼ = (第 i 列總和 × 第 j 行總和) / n。在 H0 為真且各格期望次數均不小於 5 的條件下，χ² 近似服從卡方分配，自由度 df = (3−1)(2−1) = 2，記為 χ² ~ χ²(2)。
- 三、臨界值法：查卡方表得 χ²₀.₀₅(2) = 5.991，拒絕域為 {χ² > 5.991}。惟題目表格中「願意／不願意」各格觀測次數未列出，無法計算 χ² 觀測值，題目資料缺漏，無法得出唯一數值；作答時應先算出各 Eᵢⱼ 再代入公式，若 χ² 觀測值大於 5.991 則拒絕 H0，否則不拒絕 H0。
- 四、p 值法：p 值 = P(χ²(2) ≥ χ²_obs)，判定規則為 p 值 < 0.05 時拒絕 H0，p 值 ≥ 0.05 時不拒絕 H0。p 值法與臨界值法結論必然一致，因 χ²_obs > 5.991 等價於 p 值 < 0.05。同樣受限於細格次數缺漏，僅能寫出判定規則而無法算出數值。
- 五、僅比較 A、B 兩品牌：H0：p_A = p_B，H1：p_A ≠ p_B。改用兩獨立樣本比例之 z 檢定，z = (p̂_A − p̂_B) / √[p̂(1−p̂)(1/400 + 1/600)]，p̂ 為合併比例。H0 下 z 近似標準常態 N(0,1)，理由為兩樣本相互獨立且各為二項分配，依中央極限定理其標準化差值趨近常態。拒絕域 |z| > 1.96，p 值 = 2P(Z ≥ |z|)；細格次數缺漏，無法得出唯一數值。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。