民國114年 高考三級 經建行政 統計學
第4題
A 和B 兩家公司皆生產相同規格之端子。分別自A 和B 公司隨機抽 取端子並衡量其膜厚，數據如表所示。 公司 膜厚(單位：mm) A B 假設兩家生產的端子膜厚…
題目
A 和B 兩家公司皆生產相同規格之端子。分別自A 和B 公司隨機抽 取端子並衡量其膜厚，數據如表所示。 公司 膜厚(單位：mm) A B 假設兩家生產的端子膜厚變異數相等，請寫出膜厚變異數之估計量 及估計值。（6 分） 請寫出兩家膜厚平均值差之估計量及估計值。（4 分） 續題 ，欲比較兩家膜厚之平均值是否有差異，請問該用什麼統計 方法？結論為何？顯著水準為0.05。假設兩家膜厚皆服從常態分 配。（10 分） 續題 ，請估計兩家膜厚平均值差之95%信賴區間。（5 分） 附表一：Z 值表 附表二：t 值表 附表三：X^2 值表
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、共同變異數的估計量：在兩母體變異數相等的假設下，採用合併樣本變異數（pooled variance）S_p² = [(n_A − 1)S_A² + (n_B − 1)S_B²] / (n_A + n_B − 2)，其中 S_A²、S_B² 分別為兩家公司膜厚的樣本變異數，自由度為 n_A + n_B − 2。S_p² 為共同母體變異數 σ² 的不偏估計量。由於題目未列出兩公司的實際膜厚觀測值，題目資料缺漏，無法得出唯一數值，僅能寫出估計式與計算步驟。
- 二、平均值差的估計量：以樣本平均數差 x̄_A − x̄_B 估計母體平均數差 μ_A − μ_B，此估計量為不偏估計，其變異數為 Var(x̄_A − x̄_B) = σ²(1/n_A + 1/n_B)，實務上以 S_p²(1/n_A + 1/n_B) 估計之。同樣因原始數據缺漏，無法算出點估計值。
- 三、統計方法與檢定程序：應採兩獨立樣本 t 檢定（pooled two-sample t test），檢定統計量 t = (x̄_A − x̄_B) / √[S_p²(1/n_A + 1/n_B)]，在 H0：μ_A = μ_B 為真且兩母體均為常態、變異數相等之假設下服從自由度 n_A + n_B − 2 的 t 分配。拒絕域為 |t| > t₀.₀₂₅(n_A + n_B − 2)；因數據缺漏，無法得出檢定結論。
- 四、95% 信賴區間： (x̄_A − x̄_B) ± t₀.₀₂₅(n_A + n_B − 2)·√[S_p²(1/n_A + 1/n_B)]。判讀規則為：若區間涵蓋 0，則在 α = 0.05 下不拒絕兩平均數相等之假設；若區間不含 0，則拒絕 H0。此結論與第三小題的雙尾 t 檢定結果一致。因膜厚觀測值與樣本數未提供，題目資料缺漏，無法得出唯一數值區間。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。