工程師想知道供應商生產的電池平均壽命是否小於240 小時。隨機 抽取電池36 件（n=36），其樣本平均值為235 小時。 假設電池壽命服從常態分配且母體標準差…

題目

工程師想知道供應商生產的電池平均壽命是否小於240 小時。隨機 抽取電池36 件（n=36），其樣本平均值為235 小時。 假設電池壽命服從常態分配且母體標準差為12 小時。 請檢定電池平均壽命是否低於240 小時。顯著水準為0.1。（5 分） 續上題，寫出檢定統計量分配的拒絕區之臨界值，並寫出此臨界值 對應之樣本平均值。（4 分） 若真實的電池壽命平均值分別為236 和235 小時，請分別計算他 們的型II 誤差機率及檢定力。（8 分） 若只有隨機抽取的電池改為100 件（n=100），其他不變。若真實的 電池壽命平均值分別為236 和235 小時，請分別計算他們的型II 誤差機率及檢定力。顯著水準為0.1。（8 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、檢定設定與執行：H0：μ ≥ 240，H1：μ < 240（左尾檢定），α = 0.1，母體標準差已知 σ = 12，採 z 檢定。z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) = (235 − 240)/(12/6) = −2.5。臨界值 −z₀.₁ = −1.2816，因 −2.5 < −1.2816 落在拒絕域，拒絕 H0，結論為有充分證據顯示電池平均壽命低於 240 小時。
• 二、拒絕區臨界值與對應樣本平均：拒絕域為 {z < −1.2816}，換算成樣本平均數之臨界值 x̄_c = μ₀ − z₀.₁·σ/√n = 240 − 1.2816×2 = 237.4368。亦即當樣本平均數小於 237.4368 小時即拒絕 H0，本例 x̄ = 235 小於該值，故拒絕 H0。
• 三、真實平均為 236 小時：型 II 誤差 β = P(不拒絕 H0 | μ = 236) = P(x̄ > 237.4368 | μ = 236) = P(Z > (237.4368 − 236)/2) = P(Z > 0.7184) ≈ 0.2362；檢定力 = 1 − β ≈ 0.7638。
• 四、真實平均為 235 小時：β = P(Z > (237.4368 − 235)/2) = P(Z > 1.2184) ≈ 0.1115；檢定力 = 1 − β ≈ 0.8885。真實平均離 μ₀ 越遠，β 越小、檢定力越高。
• 五、樣本數改為 n = 100：σ/√n = 1.2，x̄_c = 240 − 1.2816×1.2 = 238.4621。μ = 236 時 z = (238.4621 − 236)/1.2 ≈ 2.0518，β ≈ 0.0201、檢定力 ≈ 0.9799；μ = 235 時 z = (238.4621 − 235)/1.2 ≈ 2.8851，β ≈ 0.0020、檢定力 ≈ 0.9980。顯示樣本數增加可同時降低 β 並提升檢定力。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

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