民國114年 高考三級 工業行政 統計學
第1題
假設X 與Y 的二元機率密度函數為（每小題4 分，共20 分） f(x, y)= C(x+2y) 0≦x ≦1; 0 ≦y ≦1 =0 其他 計算C 值。 計算…
題目
假設X 與Y 的二元機率密度函數為（每小題4 分，共20 分） f(x, y)= C(x+2y) 0≦x ≦1; 0 ≦y ≦1 =0 其他 計算C 值。 計算X 的期望值。 計算機率P(X>0.5)。 計算Y 的期望值。 計算Y 大於1/3 的機率。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、求常數 C：利用聯合機率密度函數在其全領域的積分等於 1（normalization，正規化）。∫₀¹∫₀¹ C(x+2y) dx dy = C∫₀¹ (x²/2+2xy)|₀¹ dy = C∫₀¹ (1/2+2y) dy = C(1/2+1) = 3C/2 = 1，故 C = 2/3。此常數為後續求邊際密度與機率的基礎。
- 二、X 的邊際密度與期望值：f_X(x) = ∫₀¹ (2/3)(x+2y) dy = (2/3)(x+1)，0≤x≤1。故 E(X) = ∫₀¹ x·(2/3)(x+1) dx = (2/3)[x³/3+x²/2]₀¹ = (2/3)(1/3+1/2) = (2/3)(5/6) = 5/9 ≈ 0.5556。
- 三、P(X>0.5) = ∫₀.₅¹ (2/3)(x+1) dx = (2/3)[x²/2+x]₀.₅¹ = (2/3)(1.5−0.625) = (2/3)(0.875) = 7/12 ≈ 0.5833。可注意 P(X>0.5) 大於 0.5，反映密度隨 x 遞增。
- 四、Y 的邊際密度與期望值：f_Y(y) = ∫₀¹ (2/3)(x+2y) dx = (2/3)(1/2+2y) = 1/3+4y/3，0≤y≤1。故 E(Y) = ∫₀¹ y(1/3+4y/3) dy = (1/3)(1/2)+(4/3)(1/3) = 1/6+4/9 = 11/18 ≈ 0.6111。
- 五、P(Y>1/3) = ∫₁/₃¹ (1/3+4y/3) dy = (1/3)(2/3)+(4/3)(1/2)(1−1/9) = 2/9+16/27 = 22/27 ≈ 0.8148。檢核：E(X)+E(Y) = 5/9+11/18 = 7/6，與直接由聯合密度求得之 E(X+Y) 一致，可作為答案正確性的自我檢查。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。