民國114年 高考三級 工業行政 統計學
第2題
三家A、B、C 品牌之洗衣機用戶，各隨機抽取400、600 和800 人， 調查其下次會再買同一品牌洗衣機之意願。調查數據如下： 意願\品牌 A B C 願意…
題目
三家A、B、C 品牌之洗衣機用戶，各隨機抽取400、600 和800 人， 調查其下次會再買同一品牌洗衣機之意願。調查數據如下： 意願\品牌 A B C 願意 不願意 總和 請檢定三家用戶下次購買相同品牌之洗衣機比例是否全部相等。 ⑴列出虛無假設H0 和對立假設H1。（3 分） ⑵寫出檢定統計量及其在H0 為真下的分配。（5 分） ⑶以臨界值方法決定檢定結果。顯著水準為0.05。（3 分） ⑷計算p 值，並據以決定檢定結果。顯著水準為0.05。（5 分） 若只有A 和B 兩種品牌，請檢定A 和B 品牌用戶下次購買相同品 牌的比例是否相等。 ⑴列出H0 和H1。（3 分） ⑵請使用和 不同的檢定統計量，寫出其在H0 為真下的分配。請 說明何以為此分配。（6 分） ⑶計算p 值，並據以決定檢定結果。顯著水準為0.05。（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、問題性質與假設設定：三品牌各自為獨立的二項母體（樣本 400、600、800），檢定再購同品牌比例是否全等，屬齊一性檢定（test of homogeneity）。H0：p_A = p_B = p_C；H1：三者不全相等（至少有一對不同）。α = 0.05。題目表格的觀察次數未印出，以下列公式、步驟與判定規則作答。
- 二、檢定統計量與其分配：採 Pearson 卡方統計量 χ² = ΣᵢΣⱼ (Oᵢⱼ−Eᵢⱼ)²/Eᵢⱼ，其中 Eᵢⱼ =（第 i 列合計×第 j 行合計）/總合計。H0 為真且各格期望次數均不小於 5 時，χ² 近似卡方分配，自由度 =（列數−1）（行數−1）=（2−1）（3−1）= 2。
- 三、臨界值法：自由度 2、α = 0.05 之臨界值 χ²₀.₀₅,₂ = 5.991。判定規則為：若 χ²_obs > 5.991 則拒絕 H0，認為三品牌再購比例不全相等；若 χ²_obs ≤ 5.991 則不拒絕 H0，尚無充分證據顯示三者不同。
- 四、p 值法：p 值 = P(χ²₂ ≥ χ²_obs)。若 p < 0.05 拒絕 H0，若 p ≥ 0.05 不拒絕 H0。由於觀察次數表缺漏，無法算出 χ²_obs 與 p 值，題目資料缺漏，無法得出唯一數值；考生須將表中願意與不願意之人數代入上列公式，先求期望次數再求 χ²。
- 五、僅比較 A、B 兩品牌：H0：p_A = p_B；H1：p_A ≠ p_B（雙尾）。改用兩獨立比例 z 檢定（two-proportion z-test）：z = (p̂_A−p̂_B)/√[p̂(1−p̂)(1/400+1/600)]，其中 p̂ = (400p̂_A+600p̂_B)/1000 為 H0 下的混合估計。H0 為真時 z 近似 N(0,1)。
- 六、何以近似標準常態：兩樣本相互獨立且各為二項分配，樣本數大，由中央極限定理（CLT），p̂_A、p̂_B 近似常態；H0 下兩者共同比例以混合比例 p̂ 估計，變異數相加後標準化即得標準常態。此檢定與自由度 1 的卡方齊一性檢定等價（z² = χ²）。p 值 = 2P(Z ≥ |z|)，|z| > 1.96 時拒絕 H0。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。