民國114年 高考三級 工業行政 統計學考古題
民國114年 高考三級 工業行政 統計學收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
假設X 與Y 的二元機率密度函數為（每小題4 分，共20 分）
f(x, y)= C(x+2y)
0≦x ≦1; 0 ≦y ≦1
=0 其他
計算C 值。
計算X 的期望值。
計算機率P(X>0.5)。
計算Y 的期望值。
計算Y 大於1/3 的機率。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、求常數 C：利用聯合機率密度函數在其全領域的積分等於 1（normalization，正規化）。∫₀¹∫₀¹ C(x+2y) dx dy = C∫₀¹ (x²/2+2xy)|₀¹ dy = C∫₀¹ (1/2+2y) dy = C(1/2+1) = 3C/2 = 1，故 C = 2/3。此常數為後續求邊際密度與機率的基礎。
- 二、X 的邊際密度與期望值：f_X(x) = ∫₀¹ (2/3)(x+2y) dy = (2/3)(x+1)，0≤x≤1。故 E(X) = ∫₀¹ x·(2/3)(x+1) dx = (2/3)[x³/3+x²/2]₀¹ = (2/3)(1/3+1/2) = (2/3)(5/6) = 5/9 ≈ 0.5556。
- 三、P(X>0.5) = ∫₀.₅¹ (2/3)(x+1) dx = (2/3)[x²/2+x]₀.₅¹ = (2/3)(1.5−0.625) = (2/3)(0.875) = 7/12 ≈ 0.5833。可注意 P(X>0.5) 大於 0.5，反映密度隨 x 遞增。
- 四、Y 的邊際密度與期望值：f_Y(y) = ∫₀¹ (2/3)(x+2y) dx = (2/3)(1/2+2y) = 1/3+4y/3，0≤y≤1。故 E(Y) = ∫₀¹ y(1/3+4y/3) dy = (1/3)(1/2)+(4/3)(1/3) = 1/6+4/9 = 11/18 ≈ 0.6111。
- 五、P(Y>1/3) = ∫₁/₃¹ (1/3+4y/3) dy = (1/3)(2/3)+(4/3)(1/2)(1−1/9) = 2/9+16/27 = 22/27 ≈ 0.8148。檢核：E(X)+E(Y) = 5/9+11/18 = 7/6，與直接由聯合密度求得之 E(X+Y) 一致，可作為答案正確性的自我檢查。
三家A、B、C 品牌之洗衣機用戶，各隨機抽取400、600 和800 人，
調查其下次會再買同一品牌洗衣機之意願。調查數據如下：
意願\品牌
A
B
C
願意
不願意
總和
請檢定三家用戶下次購買相同品牌之洗衣機比例是否全部相等。
⑴列出虛無假設H0 和對立假設H1。（3 分）
⑵寫出檢定統計量及其在H0 為真下的分配。（5 分）
⑶以臨界值方法決定檢定結果。顯著水準為0.05。（3 分）
⑷計算p 值，並據以決定檢定結果。顯著水準為0.05。（5 分）
若只有A 和B 兩種品牌，請檢定A 和B 品牌用戶下次購買相同品
牌的比例是否相等。
⑴列出H0 和H1。（3 分）
⑵請使用和 不同的檢定統計量，寫出其在H0 為真下的分配。請
說明何以為此分配。（6 分）
⑶計算p 值，並據以決定檢定結果。顯著水準為0.05。（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、問題性質與假設設定：三品牌各自為獨立的二項母體（樣本 400、600、800），檢定再購同品牌比例是否全等，屬齊一性檢定（test of homogeneity）。H0：p_A = p_B = p_C；H1：三者不全相等（至少有一對不同）。α = 0.05。題目表格的觀察次數未印出，以下列公式、步驟與判定規則作答。
- 二、檢定統計量與其分配：採 Pearson 卡方統計量 χ² = ΣᵢΣⱼ (Oᵢⱼ−Eᵢⱼ)²/Eᵢⱼ，其中 Eᵢⱼ =（第 i 列合計×第 j 行合計）/總合計。H0 為真且各格期望次數均不小於 5 時，χ² 近似卡方分配，自由度 =（列數−1）（行數−1）=（2−1）（3−1）= 2。
- 三、臨界值法：自由度 2、α = 0.05 之臨界值 χ²₀.₀₅,₂ = 5.991。判定規則為：若 χ²_obs > 5.991 則拒絕 H0，認為三品牌再購比例不全相等；若 χ²_obs ≤ 5.991 則不拒絕 H0，尚無充分證據顯示三者不同。
- 四、p 值法：p 值 = P(χ²₂ ≥ χ²_obs)。若 p < 0.05 拒絕 H0，若 p ≥ 0.05 不拒絕 H0。由於觀察次數表缺漏，無法算出 χ²_obs 與 p 值，題目資料缺漏，無法得出唯一數值；考生須將表中願意與不願意之人數代入上列公式，先求期望次數再求 χ²。
- 五、僅比較 A、B 兩品牌：H0：p_A = p_B；H1：p_A ≠ p_B（雙尾）。改用兩獨立比例 z 檢定（two-proportion z-test）：z = (p̂_A−p̂_B)/√[p̂(1−p̂)(1/400+1/600)]，其中 p̂ = (400p̂_A+600p̂_B)/1000 為 H0 下的混合估計。H0 為真時 z 近似 N(0,1)。
- 六、何以近似標準常態：兩樣本相互獨立且各為二項分配，樣本數大，由中央極限定理（CLT），p̂_A、p̂_B 近似常態；H0 下兩者共同比例以混合比例 p̂ 估計，變異數相加後標準化即得標準常態。此檢定與自由度 1 的卡方齊一性檢定等價（z² = χ²）。p 值 = 2P(Z ≥ |z|)，|z| > 1.96 時拒絕 H0。
工程師想知道供應商生產的電池平均壽命是否小於240 小時。隨機
抽取電池36 件（n=36），其樣本平均值為235 小時。
假設電池壽命服從常態分配且母體標準差為12 小時。
請檢定電池平均壽命是否低於240 小時。顯著水準為0.1。（5 分）
續上題，寫出檢定統計量分配的拒絕區之臨界值，並寫出此臨界值
對應之樣本平均值。（4 分）
若真實的電池壽命平均值分別為236 和235 小時，請分別計算他
們的型II 誤差機率及檢定力。（8 分）
若只有隨機抽取的電池改為100 件（n=100），其他不變。若真實的
電池壽命平均值分別為236 和235 小時，請分別計算他們的型II
誤差機率及檢定力。顯著水準為0.1。（8 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、假設與檢定設定：設電池壽命 X ~ N(μ, 12²)，n = 36，x̄ = 235，σ = 12 為已知，故採單一樣本 z 檢定（one-sample z test）。H0：μ ≥ 240；H1：μ < 240（左尾）。顯著水準 α = 0.1，臨界值 −z₀.₁ = −1.2816。
- 二、檢定統計量與結論：z = (x̄−μ₀)/(σ/√n) = (235−240)/(12/6) = −5/2 = −2.5。因 −2.5 < −1.2816，落入拒絕區，拒絕 H0，有充分證據顯示平均壽命低於 240 小時。對應 p 值 = P(Z ≤ −2.5) = 0.0062 < 0.1，結論相同。
- 三、拒絕區臨界值與對應樣本平均：檢定統計量之拒絕區為 z < −1.2816。換算為樣本平均：x̄_c = μ₀ − 1.2816(σ/√n) = 240 − 1.2816×2 = 240 − 2.5632 = 237.4368 ≈ 237.44。即當 x̄ < 237.44 時拒絕 H0。
- 四、n = 36 之型 II 誤差與檢定力：β(μ) = P(不拒絕 H0 | μ) = P(x̄ > 237.4368 | μ) = P(Z > (237.4368−μ)/2)。μ = 236 時 z = 0.718，β ≈ 0.236，檢定力 = 1−β ≈ 0.764；μ = 235 時 z = 1.218，β ≈ 0.111，檢定力 ≈ 0.889。
- 五、n = 100 之型 II 誤差與檢定力：此時 σ/√n = 1.2，x̄_c = 240 − 1.2816×1.2 = 238.462。μ = 236 時 z = (238.462−236)/1.2 = 2.052，β ≈ 0.020，檢定力 ≈ 0.980；μ = 235 時 z = 2.885，β ≈ 0.002，檢定力 ≈ 0.998。
- 六、比較與意涵：樣本數由 36 增至 100，標準誤由 2 降為 1.2，拒絕區界線向 μ₀ 靠近，β 明顯下降、檢定力上升；且真實平均離 μ₀ 越遠（235 較 236），檢定力越高。此即檢定力函數（power function）隨 n 與效果量變動之具體展現。
A 和B 兩家公司皆生產相同規格之端子。分別自A 和B 公司隨機抽
取端子並衡量其膜厚，數據如表所示。
公司
膜厚(單位：mm)
A
B
假設兩家生產的端子膜厚變異數相等，請寫出膜厚變異數之估計量
及估計值。（6 分）
請寫出兩家膜厚平均值差之估計量及估計值。（4 分）
續題 ，欲比較兩家膜厚之平均值是否有差異，請問該用什麼統計
方法？結論為何？顯著水準為0.05。假設兩家膜厚皆服從常態分
配。（10 分）
續題 ，請估計兩家膜厚平均值差之95%信賴區間。（5 分）
附表一：Z 值表
附表二：t 值表
附表三：X^2 值表
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、共同變異數之估計量：在兩母體變異數相等（σ_A² = σ_B² = σ²）的假設下，採混合（pooled）估計量 s_p² = [(n_A−1)s_A²+(n_B−1)s_B²]/(n_A+n_B−2)，自由度為 n_A+n_B−2，為 σ² 的不偏估計。因題目未印出兩組膜厚觀測值與樣本數，無法算出 s_p² 之數值，題目資料缺漏，無法得出唯一數值。
- 二、平均差之估計量：μ_A−μ_B 的不偏估計量為 x̄_A−x̄_B，其變異數為 σ²(1/n_A+1/n_B)，故估計標準誤為 s_p√(1/n_A+1/n_B)。考生須先算出兩組樣本平均、樣本變異數與樣本數，再代入求估計值。
- 三、檢定方法：採兩獨立樣本混合 t 檢定（two-sample pooled t-test）。H0：μ_A = μ_B；H1：μ_A ≠ μ_B。統計量 t = (x̄_A−x̄_B)/[s_p√(1/n_A+1/n_B)]，H0 為真且兩常態、變異數相等、樣本獨立時，t 服從自由度 n_A+n_B−2 的 t 分配。α = 0.05 雙尾，臨界值為 ±t₀.₀₂₅,df。
- 四、判定規則與結論：若 |t| > t₀.₀₂₅,df 則拒絕 H0，結論為兩家平均膜厚有顯著差異；否則不拒絕 H0，無充分證據顯示兩者不同。由於原始數據缺漏，無法得出最終數值結論；若變異數相等假設可疑，應先以 F 檢定或 Levene 檢定檢驗，必要時改用 Welch t 檢定。
- 五、95% 信賴區間： (x̄_A−x̄_B) ± t₀.₀₂₅,df × s_p√(1/n_A+1/n_B)。此區間與雙尾 t 檢定結論一致：若區間不含 0，則對應拒絕 H0；若含 0，則不拒絕。區間亦提供差異大小的實務解釋，較單純檢定更具資訊價值。