民國114年 高考三級 工業行政 統計學
第4題
A 和B 兩家公司皆生產相同規格之端子。分別自A 和B 公司隨機抽 取端子並衡量其膜厚，數據如表所示。 公司 膜厚(單位：mm) A B 假設兩家生產的端子膜厚…
題目
A 和B 兩家公司皆生產相同規格之端子。分別自A 和B 公司隨機抽 取端子並衡量其膜厚，數據如表所示。 公司 膜厚(單位：mm) A B 假設兩家生產的端子膜厚變異數相等，請寫出膜厚變異數之估計量 及估計值。（6 分） 請寫出兩家膜厚平均值差之估計量及估計值。（4 分） 續題 ，欲比較兩家膜厚之平均值是否有差異，請問該用什麼統計 方法？結論為何？顯著水準為0.05。假設兩家膜厚皆服從常態分 配。（10 分） 續題 ，請估計兩家膜厚平均值差之95%信賴區間。（5 分） 附表一：Z 值表 附表二：t 值表 附表三：X^2 值表
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、共同變異數之估計量：在兩母體變異數相等（σ_A² = σ_B² = σ²）的假設下，採混合（pooled）估計量 s_p² = [(n_A−1)s_A²+(n_B−1)s_B²]/(n_A+n_B−2)，自由度為 n_A+n_B−2，為 σ² 的不偏估計。因題目未印出兩組膜厚觀測值與樣本數，無法算出 s_p² 之數值，題目資料缺漏，無法得出唯一數值。
- 二、平均差之估計量：μ_A−μ_B 的不偏估計量為 x̄_A−x̄_B，其變異數為 σ²(1/n_A+1/n_B)，故估計標準誤為 s_p√(1/n_A+1/n_B)。考生須先算出兩組樣本平均、樣本變異數與樣本數，再代入求估計值。
- 三、檢定方法：採兩獨立樣本混合 t 檢定（two-sample pooled t-test）。H0：μ_A = μ_B；H1：μ_A ≠ μ_B。統計量 t = (x̄_A−x̄_B)/[s_p√(1/n_A+1/n_B)]，H0 為真且兩常態、變異數相等、樣本獨立時，t 服從自由度 n_A+n_B−2 的 t 分配。α = 0.05 雙尾，臨界值為 ±t₀.₀₂₅,df。
- 四、判定規則與結論：若 |t| > t₀.₀₂₅,df 則拒絕 H0，結論為兩家平均膜厚有顯著差異；否則不拒絕 H0，無充分證據顯示兩者不同。由於原始數據缺漏，無法得出最終數值結論；若變異數相等假設可疑，應先以 F 檢定或 Levene 檢定檢驗，必要時改用 Welch t 檢定。
- 五、95% 信賴區間： (x̄_A−x̄_B) ± t₀.₀₂₅,df × s_p√(1/n_A+1/n_B)。此區間與雙尾 t 檢定結論一致：若區間不含 0，則對應拒絕 H0；若含 0，則不拒絕。區間亦提供差異大小的實務解釋，較單純檢定更具資訊價值。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。