工程師想知道供應商生產的電池平均壽命是否小於240 小時。隨機 抽取電池36 件（n=36），其樣本平均值為235 小時。 假設電池壽命服從常態分配且母體標準差…

題目

工程師想知道供應商生產的電池平均壽命是否小於240 小時。隨機 抽取電池36 件（n=36），其樣本平均值為235 小時。 假設電池壽命服從常態分配且母體標準差為12 小時。 請檢定電池平均壽命是否低於240 小時。顯著水準為0.1。（5 分） 續上題，寫出檢定統計量分配的拒絕區之臨界值，並寫出此臨界值 對應之樣本平均值。（4 分） 若真實的電池壽命平均值分別為236 和235 小時，請分別計算他 們的型II 誤差機率及檢定力。（8 分） 若只有隨機抽取的電池改為100 件（n=100），其他不變。若真實的 電池壽命平均值分別為236 和235 小時，請分別計算他們的型II 誤差機率及檢定力。顯著水準為0.1。（8 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、假設與檢定設定：設電池壽命 X ~ N(μ, 12²)，n = 36，x̄ = 235，σ = 12 為已知，故採單一樣本 z 檢定（one-sample z test）。H0：μ ≥ 240；H1：μ < 240（左尾）。顯著水準 α = 0.1，臨界值 −z₀.₁ = −1.2816。
• 二、檢定統計量與結論：z = (x̄−μ₀)/(σ/√n) = (235−240)/(12/6) = −5/2 = −2.5。因 −2.5 < −1.2816，落入拒絕區，拒絕 H0，有充分證據顯示平均壽命低於 240 小時。對應 p 值 = P(Z ≤ −2.5) = 0.0062 < 0.1，結論相同。
• 三、拒絕區臨界值與對應樣本平均：檢定統計量之拒絕區為 z < −1.2816。換算為樣本平均：x̄_c = μ₀ − 1.2816(σ/√n) = 240 − 1.2816×2 = 240 − 2.5632 = 237.4368 ≈ 237.44。即當 x̄ < 237.44 時拒絕 H0。
• 四、n = 36 之型 II 誤差與檢定力：β(μ) = P(不拒絕 H0 | μ) = P(x̄ > 237.4368 | μ) = P(Z > (237.4368−μ)/2)。μ = 236 時 z = 0.718，β ≈ 0.236，檢定力 = 1−β ≈ 0.764；μ = 235 時 z = 1.218，β ≈ 0.111，檢定力 ≈ 0.889。
• 五、n = 100 之型 II 誤差與檢定力：此時 σ/√n = 1.2，x̄_c = 240 − 1.2816×1.2 = 238.462。μ = 236 時 z = (238.462−236)/1.2 = 2.052，β ≈ 0.020，檢定力 ≈ 0.980；μ = 235 時 z = 2.885，β ≈ 0.002，檢定力 ≈ 0.998。
• 六、比較與意涵：樣本數由 36 增至 100，標準誤由 2 降為 1.2，拒絕區界線向 μ₀ 靠近，β 明顯下降、檢定力上升；且真實平均離 μ₀ 越遠（235 較 236），檢定力越高。此即檢定力函數（power function）隨 n 與效果量變動之具體展現。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

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