民國110年 高考三級 農業行政 統計學
第7題
令λ 為固定正常數，且定義如下函數 f(x) = ଵ ଶλ݁ିఒ௫，對x≧0；f(x) = ଵ ଶλ݁ఒ௫，對x < 0。 若隨機變數X 的pdf 為f(x)，…
題目
令λ 為固定正常數，且定義如下函數 f(x) = ଵ ଶλ݁ିఒ௫，對x≧0；f(x) = ଵ ଶλ݁ఒ௫，對x < 0。 若隨機變數X 的pdf 為f(x)，令t 為任意實數，試求P(X<t)。（10 分） 試求P(|X|<t)。（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、分配性質：f(x)=(λ/2)e^{−λ|x|}，λ>0，屬雙邊指數（Laplace）分配，密度對稱於 0；且 ∫f(x)dx=(1/2)+(1/2)=1，符合機率密度函數要件。
- 二、當 t≥0：P(X<t)=∫_{−∞}^{0}(λ/2)e^{λx}dx+∫_{0}^{t}(λ/2)e^{−λx}dx=1/2+(1/2)(1−e^{−λt})=1−(1/2)e^{−λt}。
- 三、當 t<0：P(X<t)=∫_{−∞}^{t}(λ/2)e^{λx}dx=(1/2)e^{λt}。故累積分配函數為 F(t)=1−(1/2)e^{−λt}（t≥0）、F(t)=(1/2)e^{λt}（t<0）。
- 四、P(|X|<t)：當 t>0，P(|X|<t)=F(t)−F(−t)=[1−(1/2)e^{−λt}]−(1/2)e^{−λt}=1−e^{−λt}；當 t≤0 時為 0。此結果顯示 |X| 服從參數 λ 的指數分配，且 P(|X|≥t)=e^{−λt}。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。