民國110年 高考三級 農業行政 統計學考古題

民國110年 高考三級 農業行政 統計學收錄考選部官方試題，共 7 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。

官方資料

題目與答案

第1題

Janice 是一位成功的大學教科書業務代表。依照過去的經驗，經由每通 電話的拜訪與說明，Janice 取得訂單的機率是25%。現在抽出她某個月 的業務電話通數當做樣本，並假設該資料所產生的比例的標準誤為 0.0625。 依據以上訊息，在那個月中Janice 共打了多少通業務電話？（3 分） 令p為推銷成功率的估計式，藉由p的抽樣分配，計算Janice 在那個 月內有30%（含）以上成功率的機率為何？（7 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 設母體成功率為 p=0.25，樣本數為 n，則樣本比例的標準誤為 SE(p̂)=√[p(1−p)/n]。題目已知 SE=0.0625，因此 0.0625²=0.25×0.75/n，解得 n=0.1875/0.00390625=48，即該月 Janice 共打了 48 通業務電話。
  • 在 n=48、p=0.25 下，np=12 與 n(1−p)=36 均大於 5，故依中央極限定理可採常態近似；p̂ 的抽樣分配為平均數 0.25、標準差 0.0625 的常態分配，即 p̂~N(0.25, 0.0625²)，此為計算機率的基礎。
  • 求 P(p̂≥0.30)：標準化得 z=(0.30−0.25)/0.0625=0.80，查標準常態表 P(Z≥0.80)=1−0.7881=0.2119，故該月成功率達 30%（含）以上的機率約為 21.19%。
  • 若採連續性校正，0.30×48=14.4，改以成功次數 X≥15 計算，z=(14.5−12)/3=0.833，機率約 0.202；以二項分配精算亦在 0.20 上下，與常態近似結論一致。作答時應寫出近似依據與假設，並說明母體 p 未知時以 p=0.25 代入標準誤的處理。

第2題

2010 年1 月汽車產業在A 國共售出657,000 輛車。自2009 年1 月的經 濟衰退以來，銷售額已減少37%。美國三大車廠－通用汽車（General Motors）、福特（Ford）及克萊斯勒（Chrysler）共售出280,500 輛車， 較2009 年1 月減少48%。 汽車製造商及銷售車輛類型的資料如下表，資料以千輛為單位。非美國 製造商由豐田（Toyota）、本田（Honda）及日產（Nissan）領軍共售出 376,500 輛車。下表的輕型卡車包括小貨卡、多功能休旅車、運動型休旅 車及跨界休旅車。 車型 製造商 小客車 輕型卡車 美國車廠 87.4 193.1 非美國車廠 228.5 148.0 如果某輛車是美國車廠製造，這輛車是輕型卡車的機率是多少？（5 分） 某輛車是由美國車廠製造或是小客車的機率是多少？（5 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 先整理列聯表（單位：千輛）：美國車廠 87.4+193.1=280.5，非美國車廠 228.5+148.0=376.5，全體合計 657.0，與題幹 657,000 輛相符；小客車合計 315.9，輕型卡車合計 341.1，可作為驗算依據。
  • 一、條件機率：P(輕型卡車｜美國車廠)=193.1/280.5=0.6884，即在美國車廠製造的車輛中約有 68.84% 屬輕型卡車。分母須採美國車廠的邊際總數 280.5，不可誤用全體 657。
  • 二、加法法則：P(美國車廠∪小客車)=P(美國車廠)+P(小客車)−P(美國車廠∩小客車)=280.5/657+315.9/657−87.4/657=509.0/657=0.7747，即約 77.47%。
  • 三、說明：此類題目須先界定分子與分母的母體範圍，並注意交集被重複計算而須扣除；比例為無單位量，故「千輛」的單位不影響結果。可驗算 P(美國)=0.427、P(小客車)=0.481、交集=0.133，與上述結果一致。

第3題

食用燕麥糠是否為一種有效降低膽固醇的方法？早期的研究指出，每日 食用燕麥糠可降低5% 到10% 的膽固醇標準。這項研究報告導致許多 新式早餐的穀類食品皆推行含有不同百分比的燕麥糠。然而，在德州休 士頓某研究單位的醫學研究員懷疑燕麥糠的效果，並進行一項實驗。在 那項實驗中，120 位自願者食用燕麥糠為早餐（稱為實驗組），而其他120 位自願者食用另一種穀類食品為早餐（稱為對照組）。在6 週之後，計算 並蒐集兩個群組自願者膽固醇降低的百分比。 實驗組的資料訊息：（平均數，標準差，人數）=（10.01, 4.43, 120）。 對照組的資料訊息：（平均數，標準差，人數）=（9.12, 4.45, 120）。 平均數與標準差的單位皆是百分比。 對降低膽固醇而言，在5% 的顯著水準下，我們是否能夠藉由假設檢定 推論燕麥糠不同於其他早餐穀類食品？寫下假設檢定的過程，包括虛無 與對立假設、拒絕域、檢定統計量與檢定結果。採用相同變異數的檢定 統計量。（15 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、假設：令 μ1、μ2 分別為燕麥糠組與對照組膽固醇降低百分比的平均數。虛無假設 H0：μ1−μ2=0；對立假設 H1：μ1−μ2≠0（雙尾檢定），顯著水準 α=0.05。
  • 二、檢定統計量（採相同變異數）：sp²=[(n1−1)s1²+(n2−1)s2²]/(n1+n2−2)=(119×4.43²+119×4.45²)/238=19.7137，sp=4.4401，自由度 df=120+120−2=238。
  • 標準誤 SE=sp√(1/120+1/120)=4.4401×0.12910=0.5732，檢定統計量 t=(10.01−9.12)/0.5732=0.89/0.5732=1.553。
  • 三、拒絕域：|t|>t(0.025,238)≈1.970 時拒絕 H0（亦可採 p 值法，p<0.05 時拒絕）。因 1.553<1.970，不拒絕 H0，p 值約 0.122。
  • 四、結論：在 5% 顯著水準下，無充分證據顯示食用燕麥糠與其他穀類早餐在降低膽固醇的效果上不同；兩組平均降幅 10.01% 與 9.12% 相當接近，且均落在早期研究宣稱的 5% 至 10% 區間。檢定前提為兩母體常態、樣本獨立且變異數相等。

第4題

學術能力測試（SAT）包含三個領域：關鍵性閱讀、數學和寫作，每個領 域的滿分為800 分。想了解學生在SAT 的三個領域表現是否有不同， 本題考慮完整的隨機區塊設計（complete randomized block design），進行 學生在SAT 的三個領域之資料蒐集。以下是六名學生的SAT 分數樣本： 學生 關鍵性閱讀 數學 寫作 請說明為何考慮隨機區塊設計？何者為區塊以及何者為感興趣的因 子。（5 分） 給定SSTR=1348, SSBL=63250 and SST=65798，建構對應的ANOVA 表 （SSTR：Sum of squares for Treatment；SSBL：Sum of squares for Block； SST：Total sumof squares）。在5%的顯著水準下，是否有足夠證據說明 學生在SAT 的三個領域表現不同？寫下假設檢定的過程，包括虛無與 對立假設、拒絕域、檢定統計量與檢定結果。（15 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、設計理由：同一位學生在三個領域的分數受個人能力影響甚大，若採完全隨機設計，學生間差異會落入誤差項而使檢定力下降。以學生為區塊（block）可吸收個人能力造成的變異，使 MSE 縮小。區塊為 6 名學生，感興趣因子為 SAT 領域（3 個水準：關鍵性閱讀、數學、寫作）。
  • 二、假設：H0：μ1=μ2=μ3，即三領域平均分數無差異；H1：三領域平均數不全相等。α=0.05，自由度為處理 3−1=2、區塊 6−1=5、誤差 2×5=10、總 6×3−1=17。
  • 三、ANOVA 表：SSTR=1348、df=2、MSTR=674；SSBL=63250、df=5、MSBL=12650；SSE=SST−SSTR−SSBL=65798−1348−63250=1200、df=10、MSE=120。檢定統計量 F=MSTR/MSE=674/120=5.617。
  • 四、拒絕域與結論：拒絕域為 F>F(0.05,2,10)=4.10；因 5.617>4.10，拒絕 H0，p 值約 0.023，有足夠證據顯示學生在三個領域的平均表現不同。
  • 五、補充：區塊均方 MSBL=12650，F=MSBL/MSE=105.4 遠大於臨界值，顯示區塊效果顯著、設計有效；後續可用 Tukey 或 LSD 多重比較，進一步找出差異來源。

第5題

《華爾街日報》企業觀念研究2011 年讀者之調查，詢問其對全球250 家 公司管理品質與公司聲譽之關係的評比。此調查以甚佳、良好、尚可等 三種類別尺度來衡量公司的管理品質與公司聲譽。本研究200 位受訪者 之樣本資料如下： 公司聲譽 管理品質 甚佳 良好 尚可 甚佳 良好 尚可 在5%顯著水準下，檢定公司的管理品質與公司聲譽是否獨立。寫下假 設檢定的過程，包括虛無與對立假設、拒絕域、檢定統計量與檢定結 果。（15 分） 請根據樣本資料並用條件機率來說明 的檢定結果。（5 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、假設：H0：公司管理品質與公司聲譽兩變數互相獨立（無關聯）；H1：兩變數不獨立（存在關聯）。顯著水準 α=0.05，樣本數 n=200，兩變數皆為三類別。
  • 二、檢定統計量：χ²=ΣiΣj (Oij−Eij)²/Eij，其中期望次數 Eij=(第 i 列合計×第 j 行合計)/200；自由度 df=(3−1)(3−1)=4。
  • 三、拒絕域：χ²>χ²(0.05,4)=9.488 時拒絕 H0；並須檢核各格期望次數不小於 5，否則宜合併類別或改採精確檢定。
  • 四、資料缺漏之處理：題目未印出 3×3 細格觀察次數，無法計算 Eij 與 χ² 值，故題目資料缺漏，無法得出唯一數值。作答時應列出觀察次數與期望次數對照表，逐格計算 (O−E)²/E 後加總，再與 9.488 比較並下結論。
  • 五、以條件機率輔助說明：若獨立，則 P(聲譽=j｜品質=i)=P(聲譽=j)=行合計/200，各列條件機率應相同；若某一列（如管理品質「甚佳」）在聲譽「甚佳」的條件機率明顯高於行邊際機率，即顯示正向關聯，支持對立假設，並可用 Cramér's V 衡量關聯強度。

第6題

最近，可用性專業人士協會（UPA）針對會員進行薪水調查，採用一階 多元回歸模型（first-order multiple regression model），以經驗年數（x1）、 博士學位（x2 = 1 如果是博士，0 如果不是博士）和經理狀態（x3 = 1 如 果是經理，x3 =0 如果不是經理）來預測薪水（y，以美元為單位）。得到 如下預測方程式： ˆ 2941( 1) 16880( 2) 11108( 3) y x x x 預測擁有10 年經驗且沒有博士學位卻是經理的UPA 成員的薪水及 擁有10 年經驗且有博士學位卻不是經理的UPA 成員的薪水。比較 這兩份薪水，說明差別的可能原因。（6 分） 說明調整後的多重決定係數，Rୟୢ୨ ଶ=0.32 的實際解釋。（2 分） 已知x1 係數的95%信賴區間為（2700, 3200），說明此結果的實際解 釋。（2 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、預測薪資：迴歸式 ŷ=2941x1+16880x2+11108x3（題面未印出截距項，若原式含常數 b0，兩式均須加上 b0，差額不受影響）。10 年經驗、無博士但為經理者：ŷ=2941×10+0+11108×1=40,518 美元。
  • 10 年經驗、有博士且非經理者：ŷ=2941×10+16880×1+0=46,290 美元。兩者相差 46,290−40,518=5,772 美元，主因博士學位的邊際效果（16,880）大於經理職的邊際效果（11,108）。
  • 二、差異原因：在經驗年數相同下，博士學位帶來的薪資溢酬高於擔任管理職的溢酬，故「有博士、非經理」者的預測薪資較高；此為控制年資後的淨效果，反映學歷在該樣本中的市場價值。
  • 三、R²adj=0.32：在調整自變數個數與樣本數造成的自由度損失後，經驗年數、博士學位與經理身分共解釋薪資變異的 32%，其餘 68% 由未納入因素（產業、地區、績效）與隨機誤差所致；調整後 R² 便於比較自變數個數不同的模型。
  • 四、β1 的 95% 信賴區間 (2700, 3200)：在其他變數不變下，經驗每增加一年，平均薪資增加 2,700 至 3,200 美元；因區間不包含 0，可推論經驗年數對薪資有顯著正向影響。

第7題

令λ 為固定正常數，且定義如下函數 f(x) = ଵ ଶλ݁ିఒ௫，對x≧0；f(x) = ଵ ଶλ݁ఒ௫，對x < 0。 若隨機變數X 的pdf 為f(x)，令t 為任意實數，試求P(X<t)。（10 分） 試求P(|X|<t)。（5 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、分配性質：f(x)=(λ/2)e^{−λ|x|}，λ>0，屬雙邊指數（Laplace）分配，密度對稱於 0；且 ∫f(x)dx=(1/2)+(1/2)=1，符合機率密度函數要件。
  • 二、當 t≥0：P(X<t)=∫_{−∞}^{0}(λ/2)e^{λx}dx+∫_{0}^{t}(λ/2)e^{−λx}dx=1/2+(1/2)(1−e^{−λt})=1−(1/2)e^{−λt}。
  • 三、當 t<0：P(X<t)=∫_{−∞}^{t}(λ/2)e^{λx}dx=(1/2)e^{λt}。故累積分配函數為 F(t)=1−(1/2)e^{−λt}（t≥0）、F(t)=(1/2)e^{λt}（t<0）。
  • 四、P(|X|<t)：當 t>0，P(|X|<t)=F(t)−F(−t)=[1−(1/2)e^{−λt}]−(1/2)e^{−λt}=1−e^{−λt}；當 t≤0 時為 0。此結果顯示 |X| 服從參數 λ 的指數分配，且 P(|X|≥t)=e^{−λt}。