假設隨機變數X 的動差生成函數為ܯ(ݐ) = ଵ ଼+ ଵ ଶ݁௧+ ଵ ସ݁ଶ௧+ ଵ ଼݁ସ௧。令 ܺଵ, ܺଶ, . . . , ܺଵ଴為服從此機率分配之…

題目

假設隨機變數X 的動差生成函數為ܯ(ݐ) = ଵ ଼+ ଵ ଶ݁௧+ ଵ ସ݁ଶ௧+ ଵ ଼݁ସ௧。令 ܺଵ, ܺଶ, . . . , ܺଵ଴為服從此機率分配之獨立樣本，而ܺ為其樣本平均。 試求X 之機率分配。（5 分） 試估計ܲ൫ܺ≥2൯。（10 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、由動差生成函數（moment generating function, MGF）之唯一性，M(t)=Σp(x)e^(tx)，逐項對照係數即得X之機率分配：P(X=0)=1/8、P(X=1)=1/2、P(X=2)=1/4、P(X=4)=1/8，其餘為0。此為有限支撐之間斷型分配（discrete distribution），各機率均非負且和為1，故分配完全確定。
• 二、計算動差：E(X)=0×(1/8)+1×(1/2)+2×(1/4)+4×(1/8)=0+0.5+0.5+0.5=1.5；E(X²)=0+0.5+1+2=3.5；Var(X)=3.5−1.5²=1.25，標準差σ=1.1180。
• 三、抽樣分配：n=10之獨立樣本，X̄之期望值為1.5，變異數為1.25/10=0.125，標準誤σ_X̄=√0.125=0.3536。依中央極限定理（central limit theorem, CLT），X̄近似服從N(1.5, 0.125)。
• 四、P(X̄≥2)≈1−Φ((2−1.5)/0.3536)=1−Φ(1.414)=1−0.9214=0.0786，約7.86%。若採連續性校正，以1.95代入得1−Φ(1.273)=0.1015；因n=10不算大，宜註明此為近似值，並可輔以枚舉法（convolution）驗證。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

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