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民國111年 高考三級 農業行政 統計學收錄考選部官方試題，共 5 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
假設隨機變數X 的動差生成函數為ܯ(ݐ) =
ଵ
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ଶ݁௧+
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ସ݁ଶ௧+
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଼݁ସ௧。令
ܺଵ, ܺଶ, . . . , ܺଵ為服從此機率分配之獨立樣本，而ܺ為其樣本平均。
試求X 之機率分配。（5 分）
試估計ܲ൫ܺ≥2൯。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、由動差生成函數（moment generating function, MGF）之唯一性，M(t)=Σp(x)e^(tx)，逐項對照係數即得X之機率分配：P(X=0)=1/8、P(X=1)=1/2、P(X=2)=1/4、P(X=4)=1/8，其餘為0。此為有限支撐之間斷型分配（discrete distribution），各機率均非負且和為1，故分配完全確定。 二、計算動差：E(X)=0×(1/8)+1×(1/2)+2×(1/4)+4×(1/8)=0+0.5+0.5+0.5=1.5；E(X²)=0+0.5+1+2=3.5；Var(X)=3.5−1.5²=1.25，標準差σ=1.1180。 三、抽樣分配：n=10之獨立樣本，X̄之期望值為1.5，變異數為1.25/10=0.125，標準誤σ_X̄=√0.125=0.3536。依中央極限定理（central limit theorem, CLT），X̄近似服從N(1.5, 0.125)。 四、P(X̄≥2)≈1−Φ((2−1.5)/0.3536)=1−Φ(1.414)=1−0.9214=0.0786，約7.86%。若採連續性校正，以1.95代入得1−Φ(1.273)=0.1015；因n=10不算大，宜註明此為近似值，並可輔以枚舉法（convolution）驗證。
假設父親與兒子的身高服從二元常態分配，其中父親的身高（公分）服
從期望值為170、標準差為10 的常態分配，兒子的身高（公分）服從期
望值為170、變異數為10 的常態分配，而二者之相關係數為0.6。考慮
父親身高為175 公分的這群人，試問他們兒子的平均身高為何？其中超
過175 公分之比例為何？（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、設父親身高X∼N(170, 10²)，兒子身高Y∼N(170, 10)（題給變異數為10，故σ_Y=√10=3.1623），相關係數ρ=0.6。二元常態（bivariate normal）之重要性質為：給定X=x後，Y之條件分配仍為常態，可以迴歸法處理。 二、條件期望值：E(Y|X=x)=μ_Y+ρ(σ_Y/σ_X)(x−μ_X)。迴歸係數為0.6×(3.1623/10)=0.18974；當x=175時，E(Y|X=175)=170+0.18974×5=170.95（公分）。即父親175公分者，其兒子平均身高約170.95公分，呈現向平均數迴歸（regression toward the mean）現象。 三、條件變異數：Var(Y|X)=σ_Y²(1−ρ²)=10×(1−0.36)=6.4，條件標準差為2.5298。此步驟為求條件機率之關鍵，須先確認條件分配之離散程度。 四、P(Y>175|X=175)=1−Φ((175−170.9487)/2.5298)=1−Φ(1.601)=1−0.9453=0.0547，約5.47%。 五、提醒：若題意解讀為兒子身高標準差亦為10（即變異數100），則E=173、條件標準差=8，機率為1−Φ(0.25)=0.4013。考生宜依題面「變異數為10」作答，並於答案中明確寫出所採假設，以免爭議。
假設W 鎮每個月竊盜案件數是互相獨立的。令ߤ代表平均每個月的竊
盜案件數、ܺ代表過去36 個月的竊盜案件數的樣本平均。W 鎮警官打
算以{ܺ> 20.64} 做為檢定ܪ：ߤ= 20 ݒݏ. ܪଵ：ߤ> 20的拒絕域。假設
這36 個月的竊盜案件數之樣本平均數為21、樣本標準差為3。
試求該檢定之型一錯誤（Type I error probability）為多少？（10 分）
試求在ߤ= 21.28 時之型二錯誤（Type II error probability）為多少？
（10 分）
承子題 ，若樣本數提高為50，而拒絕域不變，試問型二錯誤將增加
或降低？（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、檢定設定：H₀: μ=20 對 H₁: μ>20（右尾檢定），拒絕域R={X̄>20.64}，n=36。以樣本標準差s=3估計母體標準差，故標準誤σ_X̄=3/√36=3/6=0.5。 二、型一錯誤（Type I error）機率：α=P(拒絕H₀|H₀為真)=P(X̄>20.64|μ=20)=1−Φ((20.64−20)/0.5)=1−Φ(1.28)=1−0.8997=0.1003，約10.03%。 三、型二錯誤（Type II error）機率：β(21.28)=P(不拒絕H₀|μ=21.28)=P(X̄≤20.64|μ=21.28)=Φ((20.64−21.28)/0.5)=Φ(−1.28)=0.1003，約10.03%；對應之檢定力（power）=1−β=0.8997。 四、n提高為50而拒絕域不變時，σ_X̄=3/√50=0.4243，β=Φ((20.64−21.28)/0.4243)=Φ(−1.508)=0.0658，較原0.1003降低。理由：樣本數增加使標準誤縮小、X̄分配更集中，μ=21.28下之分配更遠離臨界值，故型二錯誤下降、檢定力上升；此即檢定力函數（power function）隨n增大而更陡峭之展現。
甲公司提出節能方案以減少其辦公大樓之冷氣耗電量，該節能方案實施
一年後，記錄實施前後每月冷氣耗電量（1000 瓩）如下表：
實施前5.8 6.1 5.4 6.8 8.5 9.6 7.4 6.2 5.6 4.8 4.5 3.6
實施後5.2 4.8 5.6 6.5 7.8 8.5 6.5 5.5 5.0 3.5 4.0 3.2
在0.05 顯著水準下，試檢定該節能方案是否減少冷氣耗電量。（10 分）
假設1-3 月為春季、4-6 月為夏季、7-9 月為秋季、10-12 月為冬季，將
資料依季節整理如下表。令顯著水準為0.05，在考量實施前後可能有
差異的情況下，試檢定春夏秋冬的冷氣耗電量是否相同。（15 分）
春
夏
秋
冬
實施前17.3 24.9 19.2 12.9
實施後15.6 22.8 17.0 10.7
參考解答（AI 生成，非官方） 一、第一部分採成對樣本（paired samples）設計，令D=實施前−實施後，檢定H₀: μ_D=0 對 H₁: μ_D>0（單尾）。12個差值總和為8.2，平均d̄=8.2/12=0.6833（千瓩）。 二、Σd²=7.64，S_dd=7.64−(8.2)²/12=7.64−5.6033=2.0367，s_d²=2.0367/11=0.18515，s_d=0.4303，s_d̄=0.4303/√12=0.12421，t=0.6833/0.12421=5.50。自由度11，t_{0.05,11}=1.796，因5.50>1.796，拒絕H₀，顯示節能方案確能降低冷氣耗電量，平均每月約減少0.68千瓩。 三、第二部分因每季合計值恰為三個月之和，屬隨機完全區集設計（randomized complete block design, RCBD）：季節為區集（4水準）、實施前後為處理（2水準），每格一觀測值，總平均17.55。總平方和SST=157.02；處理平方和=4[(18.575−17.55)²+(16.525−17.55)²]=8.405；區集平方和=2[(16.45−17.55)²+(23.85−17.55)²+(18.1−17.55)²+(11.8−17.55)²]=148.53；誤差平方和=157.02−8.405−148.53=0.085。 四、變異數分析表：處理df=1、MS=8.405、F=8.405/(0.085/3)=296.6；季節df=3、MS=49.51、F=49.51/0.02833=1747。查表F_{0.05,3,3}=9.28，季節效果遠大於臨界值，故拒絕「四季耗電量相同」之虛無假設，四季用電明顯不同（夏季最高、冬季最低）。 五、附註：季節之F值亦可由成對t檢定驗證，四季差值1.7、2.1、2.2、2.2之t=17.2，其平方296約等於處理之F值，兩法一致。使用RCBD須假設無交互作用（additive model）、常態性與變異數同質，考生宜寫出此三項假設。
甲市鎮過去6 年之人口數（千人）如下：（每小題10 分，共20 分）
2016 2017 2018 2019 2020 2021
試用三期移動平均法預測2019 至2022 年之人口數，並計算平均絕對
誤差（Mean Absolute Deviation）。
試以平滑係數為0.8 之簡單指數平滑法，預測2017 至2022 年之人口
數，並計算平均絕對誤差。
參考解答（AI 生成，非官方） 一、題目資料缺漏，無法得出唯一數值。題幹僅列2016至2021年之年度，卻未附上各年人口數（千人），故本題只能列出公式、計算步驟、必要假設與判定規則。作答時應先將資料記為y_2016, y_2017, …, y_2021。 二、三期移動平均法（3-period moving average）：F_t=(y_{t−1}+y_{t−2}+y_{t−3})/3。2019年預測取2016至2018年平均、2020年取2017至2019、2021年取2018至2020、2022年取2019至2021。平均絕對誤差MAD=(1/n)Σ|y_t−F_t|，n為實際值與預測值可配對之期數（2019至2021為3期，若以2022年預測值亦納入則另註明）。 三、簡單指數平滑法（simple exponential smoothing）：S_t=αy_t+(1−α)S_{t−1}，α=0.8，預測值F_{t+1}=S_t。2017年之預測須設定初始值，慣例取S_2016=y_2016（或以首期實際值作為第1期預測）。展開式為S_t=0.8Σ0.2^j·y_{t−j}+0.2^(t−2016)·S_2016，權重呈幾何遞減，α=0.8表示極重視近期資料。 四、MAD計算式為MAD=(1/6)Σ|y_t−F_t|（t=2017至2022；2022年無實際值時僅取5期）。判定規則：MAD較小者預測精度較高；一般而言α越大對近期變動反應越敏感，適用於水準變動較快之數列。 五、建議作答時以表格逐期列出F_t、誤差e_t=y_t−F_t、絕對誤差|e_t|與MAD合計，並明確標示所採用之初始值假設；不同初始值僅影響前幾期，但因α=0.8衰減極快，對後期影響有限，仍應於答案中說明以維持可驗證性。