民國111年 高考三級 農業行政 統計學
第2題
假設父親與兒子的身高服從二元常態分配，其中父親的身高（公分）服 從期望值為170、標準差為10 的常態分配，兒子的身高（公分）服從期 望值為170、變異數為10…
題目
假設父親與兒子的身高服從二元常態分配，其中父親的身高（公分）服 從期望值為170、標準差為10 的常態分配，兒子的身高（公分）服從期 望值為170、變異數為10 的常態分配，而二者之相關係數為0.6。考慮 父親身高為175 公分的這群人，試問他們兒子的平均身高為何？其中超 過175 公分之比例為何？（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、設父親身高X∼N(170, 10²)，兒子身高Y∼N(170, 10)（題給變異數為10，故σ_Y=√10=3.1623），相關係數ρ=0.6。二元常態（bivariate normal）之重要性質為：給定X=x後，Y之條件分配仍為常態，可以迴歸法處理。
- 二、條件期望值：E(Y|X=x)=μ_Y+ρ(σ_Y/σ_X)(x−μ_X)。迴歸係數為0.6×(3.1623/10)=0.18974；當x=175時，E(Y|X=175)=170+0.18974×5=170.95（公分）。即父親175公分者，其兒子平均身高約170.95公分，呈現向平均數迴歸（regression toward the mean）現象。
- 三、條件變異數：Var(Y|X)=σ_Y²(1−ρ²)=10×(1−0.36)=6.4，條件標準差為2.5298。此步驟為求條件機率之關鍵，須先確認條件分配之離散程度。
- 四、P(Y>175|X=175)=1−Φ((175−170.9487)/2.5298)=1−Φ(1.601)=1−0.9453=0.0547，約5.47%。
- 五、提醒：若題意解讀為兒子身高標準差亦為10（即變異數100），則E=173、條件標準差=8，機率為1−Φ(0.25)=0.4013。考生宜依題面「變異數為10」作答，並於答案中明確寫出所採假設，以免爭議。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。