民國112年 高考三級 農業行政 統計學
第1題
令Xଵ, ⋯, X表示服從指數分配（Exponential distribution）Exp(ߠ)的隨機樣本， 其機率密度函數為݂(ݔ) = ଵ ఏ݁ିೣ ഇ…
題目
令Xଵ, ⋯, X表示服從指數分配（Exponential distribution）Exp(ߠ)的隨機樣本， 其機率密度函數為݂(ݔ) = ଵ ఏ݁ିೣ ഇ, ݔ> 0。（每小題8分，共24分） 計算E(Xଵ)。（E：Expectation）（須列出計算過程） 令Y = ∑ ܺ ୀଵ ，求隨機變數Y的動差母函數（moment generating function），並回答Y的機率分配名稱。（須列出計算過程） 令Yഥ= ∑ ల సభ ，求隨機變數Yഥ的動差母函數（moment generating function）， 並回答Yഥ的機率分配名稱。（須列出計算過程）
參考解答（AI 生成，非官方）
- （一）依期望值定義，E(X1)=∫0∞ x f(x)dx=∫0∞ x(1/θ)e^(-x/θ)dx。令 u=x/θ，則 dx=θdu，積分化為 θ∫0∞ u e^(-u)du=θΓ(2)=θ。故 E(X1)=θ；同時 Var(X1)=θ^2，θ 為尺度參數（scale parameter）。
- （二）指數分配的動差母函數（moment generating function, MGF）為 M_X(t)=E(e^(tX))=∫0∞ e^(tx)(1/θ)e^(-x/θ)dx=1/(1-θt)，|t|<1/θ。因 X1,...,Xn 獨立，Y=ΣXi 的 MGF 為各 MGF 相乘，即 M_Y(t)=[1/(1-θt)]^n。
- （三）由 M_Y(t)=(1-θt)^(-n) 可辨識 Y 服從 Gamma 分配（Gamma distribution），形狀參數（shape parameter）為 n、尺度參數（scale parameter）為 θ，記為 Y~Gamma(n,θ)；n 為正整數時亦稱 Erlang 分配。其 E(Y)=nθ、Var(Y)=nθ^2。
- （四）Ybar=Y/n，利用 M_(aY)(t)=M_Y(at)，得 M_Ybar(t)=M_Y(t/n)=[1-(θ/n)t]^(-n)，|t|<n/θ。此為形狀 n、尺度 θ/n 的 Gamma 分配，即 Ybar~Gamma(n,θ/n)；因此 E(Ybar)=θ、Var(Ybar)=θ^2/n。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。