民國112年 高考三級 農業行政 統計學
第2題
考慮簡單線性迴歸模型，ݕ= ߚ+ ߚଵݔ+ ߳, ߳݅݅݀ ~ ܰ（0, ߪଶ），ߚመ和ߚመଵ分 別為β0與β1之最小平方估計式，計算下列各子題：（…
題目
考慮簡單線性迴歸模型，ݕ= ߚ+ ߚଵݔ+ ߳, ߳݅݅݀ ~ ܰ（0, ߪଶ），ߚመ和ߚመଵ分 別為β0與β1之最小平方估計式，計算下列各子題：（每小題10分，共20分） 計算Cov(ݕ,ഥߚመଵ)，其中ݕഥ為反應變數Y之平均數，Cov是指共變異數 （Covariance）。 計算Var(ߚመ+0.8ߚመଵ)，Var是指變異數（Variance）。
參考解答（AI 生成，非官方）
- （一）令 Sxx=Σ(xi-xbar)^2、Sxy=Σ(xi-xbar)(yi-ybar)。簡單線性迴歸的最小平方估計式（ordinary least squares, OLS）為 βhat1=Sxy/Sxx=Σ(xi-xbar)yi/Sxx，βhat0=ybar-βhat1 xbar；在 εi 獨立且 Var(εi)=σ^2 下，Cov(yi,yj)=0（i≠j）、Var(yi)=σ^2。
- （二）Cov(ybar,βhat1)=Cov(Σyi/n, Σ(xj-xbar)yj/Sxx)。利用雙線性與獨立性，僅 i=j 項留存，得 σ^2 Σ(xi-xbar)/(nSxx)=σ^2/(nSxx)[Σxi-n xbar]=0。故 ybar 與 βhat1 的共變異數為 0；常態誤差下兩者亦獨立。
- （三）因 βhat0=ybar-βhat1 xbar，故 βhat0+0.8βhat1=ybar+(0.8-xbar)βhat1。由上述 Cov=0，Var(βhat0+0.8βhat1)=Var(ybar)+(0.8-xbar)^2 Var(βhat1)=σ^2/n+(0.8-xbar)^2 σ^2/Sxx。
- （四）亦可展開為 Var(βhat0)+0.64Var(βhat1)+1.6Cov(βhat0,βhat1)=σ^2[1/n+(xbar^2-1.6xbar+0.64)/Sxx]。若 xbar=0.8，則交叉項消失，變異數簡化為 σ^2/n；否則須同時考慮截距與斜率估計誤差。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。