首頁 / 高考三級 農業行政考古題 / 民國112年 高考三級 農業行政 統計學 民國112年 高考三級 農業行政 統計學考古題
民國112年 高考三級 農業行政 統計學收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
令Xଵ, ⋯, X表示服從指數分配（Exponential distribution）Exp(ߠ)的隨機樣本，
其機率密度函數為݂(ݔ) =
ଵ
ఏ݁ିೣ
ഇ, ݔ> 0。（每小題8分，共24分）
計算E(Xଵ)。（E：Expectation）（須列出計算過程）
令Y = ∑
ܺ
ୀଵ
，求隨機變數Y的動差母函數（moment generating
function），並回答Y的機率分配名稱。（須列出計算過程）
令Yഥ=
∑
ల
సభ
，求隨機變數Yഥ的動差母函數（moment generating function），
並回答Yഥ的機率分配名稱。（須列出計算過程）
參考解答（AI 生成，非官方） （一）依期望值定義，E(X1)=∫0∞ x f(x)dx=∫0∞ x(1/θ)e^(-x/θ)dx。令 u=x/θ，則 dx=θdu，積分化為 θ∫0∞ u e^(-u)du=θΓ(2)=θ。故 E(X1)=θ；同時 Var(X1)=θ^2，θ 為尺度參數（scale parameter）。 （二）指數分配的動差母函數（moment generating function, MGF）為 M_X(t)=E(e^(tX))=∫0∞ e^(tx)(1/θ)e^(-x/θ)dx=1/(1-θt)，|t|<1/θ。因 X1,...,Xn 獨立，Y=ΣXi 的 MGF 為各 MGF 相乘，即 M_Y(t)=[1/(1-θt)]^n。 （三）由 M_Y(t)=(1-θt)^(-n) 可辨識 Y 服從 Gamma 分配（Gamma distribution），形狀參數（shape parameter）為 n、尺度參數（scale parameter）為 θ，記為 Y~Gamma(n,θ)；n 為正整數時亦稱 Erlang 分配。其 E(Y)=nθ、Var(Y)=nθ^2。 （四）Ybar=Y/n，利用 M_(aY)(t)=M_Y(at)，得 M_Ybar(t)=M_Y(t/n)=[1-(θ/n)t]^(-n)，|t|<n/θ。此為形狀 n、尺度 θ/n 的 Gamma 分配，即 Ybar~Gamma(n,θ/n)；因此 E(Ybar)=θ、Var(Ybar)=θ^2/n。
考慮簡單線性迴歸模型，ݕ= ߚ+ ߚଵݔ+ ߳, ߳݅݅݀
~ ܰ（0, ߪଶ），ߚመ和ߚመଵ分
別為β0與β1之最小平方估計式，計算下列各子題：（每小題10分，共20分）
計算Cov(ݕ,ഥߚመଵ)，其中ݕഥ為反應變數Y之平均數，Cov是指共變異數
（Covariance）。
計算Var(ߚመ+0.8ߚመଵ)，Var是指變異數（Variance）。
參考解答（AI 生成，非官方） （一）令 Sxx=Σ(xi-xbar)^2、Sxy=Σ(xi-xbar)(yi-ybar)。簡單線性迴歸的最小平方估計式（ordinary least squares, OLS）為 βhat1=Sxy/Sxx=Σ(xi-xbar)yi/Sxx，βhat0=ybar-βhat1 xbar；在 εi 獨立且 Var(εi)=σ^2 下，Cov(yi,yj)=0（i≠j）、Var(yi)=σ^2。 （二）Cov(ybar,βhat1)=Cov(Σyi/n, Σ(xj-xbar)yj/Sxx)。利用雙線性與獨立性，僅 i=j 項留存，得 σ^2 Σ(xi-xbar)/(nSxx)=σ^2/(nSxx)[Σxi-n xbar]=0。故 ybar 與 βhat1 的共變異數為 0；常態誤差下兩者亦獨立。 （三）因 βhat0=ybar-βhat1 xbar，故 βhat0+0.8βhat1=ybar+(0.8-xbar)βhat1。由上述 Cov=0，Var(βhat0+0.8βhat1)=Var(ybar)+(0.8-xbar)^2 Var(βhat1)=σ^2/n+(0.8-xbar)^2 σ^2/Sxx。 （四）亦可展開為 Var(βhat0)+0.64Var(βhat1)+1.6Cov(βhat0,βhat1)=σ^2[1/n+(xbar^2-1.6xbar+0.64)/Sxx]。若 xbar=0.8，則交叉項消失，變異數簡化為 σ^2/n；否則須同時考慮截距與斜率估計誤差。
有關於汽車碳氫化合物排放量（克/英里）的研究，記錄碳氫化合物排放
量Y（100克/公里），和相對應的累積里程數X（以1000公里為單位）。初步
整理樣本資料如下所示：
190.2356
212.9375
4086.6461
n
n
n
i
i
i
i
i
i
n
x
y
x
，
，
，
，
4152.344
3808.8281
n
n
i
i
i
i
i
y
x y
，
。
使用以上資料回答下列問題，請詳細將所使用之公式及計算過程列出。
（每小題9分，共36分）
計算最小平方迴歸線。（計算至小數點後4位數）
迴歸判定係數（ܴଶ）為何？
顯著水準為0.05，檢定迴歸斜率是否顯著異於0.16。
在x=25時，求對應之反應變數Y預測值的95%預測區間。
（10,0.025
9,0.025
10,0.05
9,0.05
2.228
2.262
1.812
1.833
t
t
t
t
，
，
，
）
參考解答（AI 生成，非官方） （一）依題意樣本數 n=12。由資料得 xbar=190.2356/12=15.8530、ybar=212.9375/12=17.7448。計算離差平方和：Sxx=4086.6461-(190.2356)^2/12=1070.8475；Sxy=3808.8281-(190.2356)(212.9375)/12=433.1370；Syy=4152.344-(212.9375)^2/12=373.8124。 （二）最小平方迴歸線為 yhat=b0+b1x，其中 b1=Sxy/Sxx=433.1370/1070.8475=0.4045，b0=ybar-b1 xbar=17.7448-0.4045×15.8530=11.3326。故 yhat=11.3326+0.4045x；斜率表示 X 每增加 1 單位，Y 平均增加約 0.4045 單位。 （三）判定係數 R^2=SSR/SST=Sxy^2/(SxxSyy)=(433.1370)^2/(1070.8475×373.8124)=0.4687。亦可由 SSE=Syy-Sxy^2/Sxx=198.6169，R^2=1-SSE/Syy=0.4687 得到；表示 X 可解釋 Y 約 46.87% 的變異。 （四）檢定 H0:β1=0.16 對 H1:β1≠0.16。MSE=SSE/(n-2)=198.6169/10=19.8617，SE(b1)=√(MSE/Sxx)=√(19.8617/1070.8475)=0.1362。t=(0.4045-0.16)/0.1362=1.795；df=10，α=0.05 雙尾臨界值為 2.228。因 |t|=1.795<2.228，不拒絕 H0，尚無充分證據顯示斜率異於 0.16。 （五）x0=25 時，yhat0=11.3326+0.4045×25=21.4446。95% 預測區間為 yhat0±t_{10,0.025}√{MSE[1+1/n+(x0-xbar)^2/Sxx]}。代入得 21.4446±2.228√{19.8617[1+1/12+(9.1470)^2/1070.8475]}=21.4446±10.7010，即約 (10.7436, 32.1456)。
觀察記錄某一城市在最近三個月內（90天）每天汽機車意外事故的次數，
其次數分配如下所示：
意外事故次數
3 4
觀察天數
32 34 17 6 1
檢定每天汽機車意外事故次數是否服從波松（Poisson）分配。
寫出虛無假設與對立假設。（5分）
在顯著水準α=0.05時，寫出檢定統計量、棄卻域和結論。（須列出計算
過程）（15分）
（
2,0.025
3,0.025
4,0.025
7.38
9.35
11.14
，
，
，
2,0.05
3,0.05
4,0.05
5.99
7.81
9.49
，
，
）
波松分配累積機率表
x
λ = E(X)
0.5
1.0
2.0
0.607
0.368
0.135
0.910
0.736
0.406
0.986
0.920
0.677
0.998
0.981
0.857
1.000
0.996
0.947
1.000
0.999
0.983
1.000
1.000
0.995
1.000
1.000
0.999
參考解答（AI 生成，非官方） （一）令隨機變數 X 為一天內汽機車意外事故次數。虛無假設 H0：X 服從波松分配（Poisson distribution），即存在 λ>0 使 P(X=x)=e^(-λ)λ^x/x!，x=0,1,2,...；對立假設 H1：X 不服從波松分配。此為複合假設，λ 未給定，須先由樣本估計。 （二）資料為 x=0,1,2,3,4 的觀察天數 32,34,17,6,1，合計 90 天。以最大概似估計（maximum likelihood estimation, MLE）得 λhat=xbar=(0×32+1×34+2×17+3×6+4×1)/90=90/90=1.0。故以 Poisson(1) 計算期望機率與期望次數。 （三）Poisson(1) 的機率為 P(0)=P(1)=0.3679、P(2)=0.1839、P(3)=0.0613、P(4)=0.0153。期望次數分別為 33.109、33.109、16.555、5.518、1.380；因 x=4 的期望次數小於 5，將 x=3 與 x=4 合併，合併後觀察次數 7、期望次數 6.898，類別數 k=4。 （四）檢定統計量 χ^2=Σ(Oi-Ei)^2/Ei=(32-33.109)^2/33.109+(34-33.109)^2/33.109+(17-16.555)^2/16.555+(7-6.898)^2/6.898=0.0746。自由度 df=k-1-1=4-1-1=2，α=0.05 臨界值 χ^2_{2,0.05}=5.99，棄卻域為 χ^2>5.99。因 0.0746<5.99，不拒絕 H0，結論為在 5% 顯著水準下尚無充分證據認為事故次數不服從波松分配。