民國111年 高考三級 測量製圖 測量平差法（包括誤差理論及實務）
第4題
98°06′59″ 2.8 B C D 85°56′57″ 2.6 距離（m） 中誤差（m） B C 302.49 0.012 C D 254.32 0.012…
題目
98°06′59″ 2.8 B C D 85°56′57″ 2.6 距離（m） 中誤差（m） B C 302.49 0.012 C D 254.32 0.012 以某測量儀器觀測到A、B、C、D 四點之X、Y 平面坐標分別是（1.00, 5.02）、 （2.00, 1.98）、（3.00, 3.01）和（4.00, 7.99）。假設觀測誤差只存在於Y 坐 標，以最小二乘法擬合拋物線Y aX 2+bX+c 時，僅針對Y 坐標進行改 正，分別用Vi（i A、B、C、D）表示，試列出觀測方程式，並說明此 平差系統之多餘觀測數為何？以及多餘觀測數之意義；並在觀測量視為 等權情形下，計算擬合參數a、b、c 之值及其中誤差。（30 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、觀測方程式：X_i視為無誤差，僅Y_i含誤差，採Y_i+v_i=aX_i²+bX_i+c。四點展開為：5.02+v_A=a+b+c；1.98+v_B=4a+2b+c；3.01+v_C=9a+3b+c；7.99+v_D=16a+4b+c。寫成矩陣A x=l−v，A為四列三行之係數矩陣。
- 二、多餘觀測數：觀測數n=4，未知參數u=3，r=n−u=1。其意義是有一個多餘觀測，可產生一組殘差與一個閉合條件，用來檢核配適、估計單位權中誤差及偵測單一粗差；但自由度僅1，檢定力與精度估計均有限，不能據此同時偵測多個粗差。
- 三、法方程式：因觀測量等權，P=I，N=AᵀA=[[354,100,30],[100,30,10],[30,10,4]]，Aᵀl=[167.87,49.97,18.00]ᵀ。解N x=Aᵀl得a=2.005、b=−9.031、c=12.040，故擬合拋物線為Y=2.005X²−9.031X+12.040。
- 四、殘差與單位權中誤差：由v_i=aX_i²+bX_i+c−Y_i得v=[−0.006,+0.018,−0.018,+0.006]ᵀ m，Σv_i²=0.000720 m²。因r=1，單位權中誤差σ̂_0=√(Σv²/r)=√0.000720=0.02683 m。
- 五、參數中誤差：Q=N⁻¹=[[0.25,−1.25,1.25],[−1.25,6.45,−6.75],[1.25,−6.75,7.75]]。故σ_a=σ̂_0√0.25=0.0134 m，σ_b=σ̂_0√6.45=0.0682 m，σ_c=σ̂_0√7.75=0.0747 m。參數間高度相關，單獨解讀各中誤差時應注意。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。