民國111年 高考三級 測量製圖 測量平差法（包括誤差理論及實務）考古題
民國111年 高考三級 測量製圖 測量平差法（包括誤差理論及實務）收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
使用全測站儀器測得某方向秒讀數記錄如下：
23.7
14.1
15.1
19.8
19.7
12.9
26.7
12.5
13.6
20.5
16.5
15.2
18.4
8.2
24.7
16.0
8.5
16.2
23.4
20.9
18.5
13.3
16.2
19.1
15.4
26.4
18.2
14.9
17.8
13.1
試求此資料組的觀測中誤差，以及最或是值與其中誤差，並在95%的信賴水
準下說明觀測值是否含有粗差。（E90 1.645 σ、E95 1.96 σ、E99 2.57 σ）
（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、設30個等精度方向秒讀數為 x_i，最或是值取算術平均：x̄=Σx_i/n=519.5/30=17.317″。觀測中誤差採白塞爾公式 m=√(Σv_i²/(n−1))，其中 v_i=x_i−x̄；由 Σx_i²=9625.85，得 Σv_i²=9625.85−519.5²/30=629.842，故 m=√(629.842/29)=4.660″。
- 二、最或是值之中誤差為 m_x̄=m/√n=4.660/√30=0.851″。在95%信賴水準下，採題給 E95=1.96σ，信賴區間為 17.317±1.96×0.851=17.317±1.668″，即 15.649″～18.984″。此區間表示真值落在其間之機率約95%，並非單一觀測值之分布範圍。
- 三、粗差檢定以殘差 v_i 與單一觀測量之95%界限 1.96m=1.96×4.660=9.134″ 比較。最大殘差為 26.7−17.317=+9.383″，超過界限；最小殘差為 8.2−17.317=−9.117″，尚未超過但僅差0.017″，屬邊界可疑值。其餘殘差絕對值均小於9.134″。
- 四、若改以殘差本身標準差 m√(1−1/n)=4.660×√(29/30)=4.582″ 檢定，則界限為1.96×4.582=8.981″，8.2″亦會超過。這顯示8.2″與26.7″均接近判定邊界；在30個觀測量下，95%水準本來可能出現約1.5個偽陽性，不宜只憑一次逐點檢定即刪除。
- 五、結論：本組資料在95%水準下至少26.7″可判定含粗差，8.2″應列為可疑並複測；建議輔以Baarda data snooping、Grubbs檢定或穩健估計。若確認剔除26.7″，以n=29重算得 x̄=16.993″、m=4.387″、m_x̄=0.815″，不可與原值混用。
以公尺為單位使用全測站儀器測量某一檢定基線（calibration baseline）
長度四次，計算結果為1,100.000 m，觀測中誤差為 0.04 m。已知此檢
定基線長為1,100.005 m，試建立一假說測試，檢定儀器測距功能於0.01
顯著水準下是否正常運作？（計算結果以公尺為單位，四捨五入至小數
點下第三位；不同顯著水準不同自由度之t 分布值如下：t0.01,4 3.747、
t0.01,3 4.541、t0.005,4 4.604、t0.005,3 5.841）（20 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、令基線真值 μ_0=1100.005 m，四次測距平均值 x̄=1100.000 m，單次觀測中誤差 s=0.04 m，n=4。檢定「儀器測距功能正常」即無系統偏差，設 H_0:μ=μ_0，H_1:μ≠μ_0，採雙尾檢定，顯著水準 α=0.01；因s由4次觀測估計，自由度df=n−1=3。
- 二、檢定統計量 t=(x̄−μ_0)/(s/√n)=(−0.005)/(0.04/2)=−0.250。雙尾α=0.01、df=3之臨界值為 t_0.005,3=5.841；若採單尾則為 t_0.01,3=4.541。無論何者，|t|=0.250均遠小於臨界值。
- 三、判定：不拒絕H_0，即在0.01顯著水準下無足夠證據顯示測距平均值偏離已知基線。觀測差異僅0.005 m，為平均值標準誤0.020 m的0.25倍，屬隨機誤差可解釋範圍。儀器測距功能可視為正常。
- 四、以99%信賴區間輔助說明：x̄±t_0.005,3×s/√n=1100.000±5.841×0.020=1100.000±0.117 m，即1099.883～1100.117 m，包含μ_0=1100.005 m。若題意之0.04 m為平均值標準誤而非單次觀測中誤差，則t=−0.125，結論仍相同。
- 五、限制：四次觀測、df=3，檢定力偏低，且0.04 m之定義會影響統計量但本案不影響結論。實務上宜增加觀測次數、檢查加常數與乘常數改正，並以重複觀測之標準差檢定儀器精密度，而非只看平均值。
一開放導線ABCD，已知AB 的方位角為345°16′29″，其中誤差為 4.5″；
下列表格分別是觀測之角度與距離及其中誤差，試繪出此開放導線略
圖，並計算BC、CD 方位角及其中誤差，以及BC 縱距與橫距之中誤差
及相關係數。（25 分）
後視
測站
前視
觀測角度
中誤差（″）
A
B
C
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、繪圖：先畫指北箭頭，依α_AB=345°16′29″由A向北偏西畫AB；B點後視A、前視C，順時針觀測角β_B=98°06′59″，得BC方位角263°23′28″，C位於B之西南方；C點後視B、前視D，順時針角β_C=85°56′57″，得CD方位角169°20′25″，D位於C之南偏東。圖上依序標A、B、C、D，並註記角度、距離302.49 m與254.32 m及北方向，考生依此描述繪製。
- 二、方位角計算採α_BC=α_AB+β_B−180°：345°16′29″+98°06′59″−180°=263°23′28″。再算α_CD=α_BC+β_C−180°=263°23′28″+85°56′57″−180°=169°20′25″。加減180°不改變誤差傳播，故方位角誤差只由已知AB方位角誤差及各站角度誤差累加。
- 三、方位角中誤差：m_BC=√(4.5²+2.8²)=√28.09=5.30″；m_CD=√(5.30²+2.6²)=√34.85=5.90″。此處假設各角度觀測互相獨立，協方差為零；若同一儀器短時間觀測，可能存在相關性，實務上應以方差—協方差矩陣處理。
- 四、BC縱距與橫距：ΔN_BC=S cosα_BC=302.49×cos263°23′28″=−34.814 m；ΔE_BC=S sinα_BC=302.49×sin263°23′28″=−300.480 m。即C在B之西300.480 m、南34.814 m。縱距取北向為正，橫距取東向為正。
- 五、誤差與相關係數：σ_S=0.012 m，σ_α=5.30″=2.5695×10⁻⁵ rad，Sσ_α=0.007772 m。σ_N²=cos²α σ_S²+sin²α(Sσ_α)²，得σ_N=0.00784 m；σ_E²=sin²α σ_S²+cos²α(Sσ_α)²，得σ_E=0.01195 m。σ_NE=sinα cosα[σ_S²−(Sσ_α)²]=9.56×10⁻⁶ m²，ρ=σ_NE/(σ_Nσ_E)=0.102，呈弱正相關。註：若題意之觀測角為逆時針左角，則方位角改為67°09′30″、161°12′33″，BC之ΔN=+117.423 m、ΔE=+278.769 m，σ_N=0.00855 m、σ_E=0.01146 m、ρ=0.305；考生應依題目角度定義選用一致公式。
98°06′59″
2.8
B
C
D
85°56′57″
2.6
距離（m）
中誤差（m）
B
C
302.49
0.012
C
D
254.32
0.012
以某測量儀器觀測到A、B、C、D 四點之X、Y 平面坐標分別是（1.00, 5.02）、
（2.00, 1.98）、（3.00, 3.01）和（4.00, 7.99）。假設觀測誤差只存在於Y 坐
標，以最小二乘法擬合拋物線Y aX 2+bX+c 時，僅針對Y 坐標進行改
正，分別用Vi（i A、B、C、D）表示，試列出觀測方程式，並說明此
平差系統之多餘觀測數為何？以及多餘觀測數之意義；並在觀測量視為
等權情形下，計算擬合參數a、b、c 之值及其中誤差。（30 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、觀測方程式：X_i視為無誤差，僅Y_i含誤差，採Y_i+v_i=aX_i²+bX_i+c。四點展開為：5.02+v_A=a+b+c；1.98+v_B=4a+2b+c；3.01+v_C=9a+3b+c；7.99+v_D=16a+4b+c。寫成矩陣A x=l−v，A為四列三行之係數矩陣。
- 二、多餘觀測數：觀測數n=4，未知參數u=3，r=n−u=1。其意義是有一個多餘觀測，可產生一組殘差與一個閉合條件，用來檢核配適、估計單位權中誤差及偵測單一粗差；但自由度僅1，檢定力與精度估計均有限，不能據此同時偵測多個粗差。
- 三、法方程式：因觀測量等權，P=I，N=AᵀA=[[354,100,30],[100,30,10],[30,10,4]]，Aᵀl=[167.87,49.97,18.00]ᵀ。解N x=Aᵀl得a=2.005、b=−9.031、c=12.040，故擬合拋物線為Y=2.005X²−9.031X+12.040。
- 四、殘差與單位權中誤差：由v_i=aX_i²+bX_i+c−Y_i得v=[−0.006,+0.018,−0.018,+0.006]ᵀ m，Σv_i²=0.000720 m²。因r=1，單位權中誤差σ̂_0=√(Σv²/r)=√0.000720=0.02683 m。
- 五、參數中誤差：Q=N⁻¹=[[0.25,−1.25,1.25],[−1.25,6.45,−6.75],[1.25,−6.75,7.75]]。故σ_a=σ̂_0√0.25=0.0134 m，σ_b=σ̂_0√6.45=0.0682 m，σ_c=σ̂_0√7.75=0.0747 m。參數間高度相關，單獨解讀各中誤差時應注意。