民國110年 高考三級 交通技術 統計學
第1題
Janice 是一位成功的大學教科書業務代表。依照過去的經驗，經由每通 電話的拜訪與說明，Janice 取得訂單的機率是25%。現在抽出她某個月 的業務電話通數…
題目
Janice 是一位成功的大學教科書業務代表。依照過去的經驗，經由每通 電話的拜訪與說明，Janice 取得訂單的機率是25%。現在抽出她某個月 的業務電話通數當做樣本，並假設該資料所產生的比例的標準誤為 0.0625。 依據以上訊息，在那個月中Janice 共打了多少通業務電話？（3 分） 令p為推銷成功率的估計式，藉由p的抽樣分配，計算Janice 在那個 月內有30%（含）以上成功率的機率為何？（7 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、題意與標準誤的定義。令 p 為推銷成功率的估計式，即樣本比例 p̂＝X／n，其中 X 為成功訂單通數、n 為電話通數。依中央極限定理，p̂ 的抽樣分配平均數為 E(p̂)＝p＝0.25，標準誤為 SE(p̂)＝√[p(1－p)／n]。題目給定 SE＝0.0625，故可反推樣本數。
- 二、求解電話通數。將已知數值代入：0.0625²＝0.25×0.75／n，即 0.00390625＝0.1875／n，解得 n＝0.1875／0.00390625＝48。故該月 Janice 共打了 48 通業務電話。此步驟的關鍵在於辨認「比例的標準誤」是以母體比例 p＝0.25 計算，而非以樣本比例計算。
- 三、計算成功率達 30%（含）以上的機率。p̂ 近似 N(0.25, 0.0625²)，標準化得 z＝(0.30－0.25)／0.0625＝0.8，故 P(p̂≥0.30)≈P(Z≥0.8)＝1－0.7881＝0.2119，約 21.19%。即該月成功率達到或超過三成的機會約為兩成。
- 四、補充說明與限制。np＝12、n(1－p)＝36，樣本數不大，常態近似略嫌勉強；若採連續性校正，以 15／48＝0.3125 計算，z＝1.0，機率約 0.1587；以精確二項分配計算亦接近 0.16。考生宜寫出所用近似方式與其理由，並指出小樣本下近似誤差較大。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。