民國110年 高考三級 交通技術 統計學考古題

民國110年 高考三級 交通技術 統計學收錄考選部官方試題，共 7 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。

官方資料

題目與答案

第1題

Janice 是一位成功的大學教科書業務代表。依照過去的經驗，經由每通 電話的拜訪與說明，Janice 取得訂單的機率是25%。現在抽出她某個月 的業務電話通數當做樣本，並假設該資料所產生的比例的標準誤為 0.0625。 依據以上訊息，在那個月中Janice 共打了多少通業務電話？（3 分） 令p為推銷成功率的估計式，藉由p的抽樣分配，計算Janice 在那個 月內有30%（含）以上成功率的機率為何？（7 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、題意與標準誤的定義。令 p 為推銷成功率的估計式，即樣本比例 p̂＝X／n，其中 X 為成功訂單通數、n 為電話通數。依中央極限定理，p̂ 的抽樣分配平均數為 E(p̂)＝p＝0.25，標準誤為 SE(p̂)＝√[p(1－p)／n]。題目給定 SE＝0.0625，故可反推樣本數。
  • 二、求解電話通數。將已知數值代入：0.0625²＝0.25×0.75／n，即 0.00390625＝0.1875／n，解得 n＝0.1875／0.00390625＝48。故該月 Janice 共打了 48 通業務電話。此步驟的關鍵在於辨認「比例的標準誤」是以母體比例 p＝0.25 計算，而非以樣本比例計算。
  • 三、計算成功率達 30%（含）以上的機率。p̂ 近似 N(0.25, 0.0625²)，標準化得 z＝(0.30－0.25)／0.0625＝0.8，故 P(p̂≥0.30)≈P(Z≥0.8)＝1－0.7881＝0.2119，約 21.19%。即該月成功率達到或超過三成的機會約為兩成。
  • 四、補充說明與限制。np＝12、n(1－p)＝36，樣本數不大，常態近似略嫌勉強；若採連續性校正，以 15／48＝0.3125 計算，z＝1.0，機率約 0.1587；以精確二項分配計算亦接近 0.16。考生宜寫出所用近似方式與其理由，並指出小樣本下近似誤差較大。

第2題

2010 年1 月汽車產業在A 國共售出657,000 輛車。自2009 年1 月的經 濟衰退以來，銷售額已減少37%。美國三大車廠－通用汽車（General Motors）、福特（Ford）及克萊斯勒（Chrysler）共售出280,500 輛車， 較2009 年1 月減少48%。 汽車製造商及銷售車輛類型的資料如下表，資料以千輛為單位。非美國 製造商由豐田（Toyota）、本田（Honda）及日產（Nissan）領軍共售出 376,500 輛車。下表的輕型卡車包括小貨卡、多功能休旅車、運動型休旅 車及跨界休旅車。 車型 製造商 小客車 輕型卡車 美國車廠 87.4 193.1 非美國車廠 228.5 148.0 如果某輛車是美國車廠製造，這輛車是輕型卡車的機率是多少？（5 分） 某輛車是由美國車廠製造或是小客車的機率是多少？（5 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、建立聯合機率表。以千輛為單位，美國車廠：小客車 87.4、輕型卡車 193.1，合計 280.5；非美國車廠：小客車 228.5、輕型卡車 148.0，合計 376.5。邊際合計為小客車 315.9、輕型卡車 341.1，總數 657.0，與題目所述 657,000 輛一致，可作為資料檢核。
  • 二、第一小題：條件機率。所求為 P(輕型卡車｜美國車廠)＝P(美國且輕型卡車)／P(美國)＝193.1／280.5＝0.6884。即在美國車廠製造的車輛中，約 68.84% 為輕型卡車。此題須以「美國車廠」為分母，不可誤用全體總數 657.0 作分母。
  • 三、第二小題：聯集機率。所求為 P(美國∪小客車)＝P(美國)＋P(小客車)－P(美國∩小客車)＝(280.5＋315.9－87.4)／657.0＝509.0／657.0＝0.7747，約 77.47%。因「美國車廠」與「小客車」非互斥事件，必須扣除交集 87.4 千輛，否則會重複計算。
  • 四、驗算與提醒。亦可用補集法：1－P(非美國且輕型卡車)＝1－148.0／657.0＝1－0.2253＝0.7747，結果一致。答題時宜同時寫出加法法則、交集與補集的概念，並注意單位為千輛，比例計算時單位會自動消去。

第3題

食用燕麥糠是否為一種有效降低膽固醇的方法？早期的研究指出，每日 食用燕麥糠可降低5% 到10% 的膽固醇標準。這項研究報告導致許多 新式早餐的穀類食品皆推行含有不同百分比的燕麥糠。然而，在德州休 士頓某研究單位的醫學研究員懷疑燕麥糠的效果，並進行一項實驗。在 那項實驗中，120 位自願者食用燕麥糠為早餐（稱為實驗組），而其他120 位自願者食用另一種穀類食品為早餐（稱為對照組）。在6 週之後，計算 並蒐集兩個群組自願者膽固醇降低的百分比。 實驗組的資料訊息：（平均數，標準差，人數）=（10.01, 4.43, 120）。 對照組的資料訊息：（平均數，標準差，人數）=（9.12, 4.45, 120）。 平均數與標準差的單位皆是百分比。 對降低膽固醇而言，在5% 的顯著水準下，我們是否能夠藉由假設檢定 推論燕麥糠不同於其他早餐穀類食品？寫下假設檢定的過程，包括虛無 與對立假設、拒絕域、檢定統計量與檢定結果。採用相同變異數的檢定 統計量。（15 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、建立假設。令 μ1 為燕麥糠組膽固醇降低百分比的平均數，μ2 為對照組平均數。虛無假設 H0：μ1－μ2＝0（燕麥糠與其他穀類無差異）；對立假設 H1：μ1－μ2≠0（雙尾檢定）；顯著水準 α＝0.05。兩組樣本數均為 120，屬大樣本，惟題目指定採用相同變異數的檢定統計量。
  • 二、合併變異數與檢定統計量。sp²＝[(n1－1)s1²＋(n2－1)s2²]／(n1＋n2－2)＝(119×4.43²＋119×4.45²)／238＝(19.6249＋19.8025)／2＝19.7137，sp＝4.4401。檢定統計量 t＝(x̄1－x̄2)／[sp√(1/n1＋1/n2)]＝0.89／(4.4401×0.12910)＝0.89／0.5732＝1.5527，自由度為 238。
  • 三、拒絕域。雙尾檢定之拒絕域為 |t|＞t(0.025, 238)。查表 t(0.025, 238)≈1.970，故當 |t|＞1.970 時拒絕 H0。本例 |t|＝1.5527＜1.970，檢定統計量未落入拒絕域，故不拒絕虛無假設；亦可由 p 值約 0.122＞0.05 得到相同結論。
  • 四、結論與討論。在 5% 顯著水準下，無足夠證據推論燕麥糠降低膽固醇的效果不同於其他早餐穀類食品。惟兩組平均數差 0.89 個百分點，方向與早期研究一致，僅未達統計顯著；宜提醒「不拒絕 H0」不等於證明兩者相同，亦應注意自願者樣本的自選擇偏誤與實驗期間僅六週的限制。

第4題

學術能力測試（SAT）包含三個領域：關鍵性閱讀、數學和寫作，每個領 域的滿分為800 分。想了解學生在SAT 的三個領域表現是否有不同， 本題考慮完整的隨機區塊設計（complete randomized block design），進行 學生在SAT 的三個領域之資料蒐集。以下是六名學生的SAT 分數樣本： 學生 關鍵性閱讀 數學 寫作 請說明為何考慮隨機區塊設計？何者為區塊以及何者為感興趣的因 子。（5 分） 給定SSTR=1348, SSBL=63250 and SST=65798，建構對應的ANOVA 表 （SSTR：Sum of squares for Treatment；SSBL：Sum of squares for Block； SST：Total sumof squares）。在5%的顯著水準下，是否有足夠證據說明 學生在SAT 的三個領域表現不同？寫下假設檢定的過程，包括虛無與 對立假設、拒絕域、檢定統計量與檢定結果。（15 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、為何採用隨機區塊設計。學生的整體學術能力（語文與數理稟賦）差異極大，若採完全隨機設計，這部分變異會落入誤差項，使檢定力下降。將每位學生視為一個區塊，讓同一學生接受三個領域的處理，可移除學生間變異，使誤差均方縮小，提高檢定三個領域平均分數是否不同的敏感度。
  • 二、區塊與感興趣因子。區塊（block）為「學生」，共 6 位；感興趣的因子（factor）為「SAT 領域」，有三個水準：關鍵性閱讀、數學、寫作。每位學生在三個水準下皆有觀測值，故屬完整隨機區塊設計（complete randomized block design），總觀測數 18，總自由度 17。
  • 三、建構 ANOVA 表。誤差平方和 SSE＝SST－SSTR－SSBL＝65798－1348－63250＝1200。自由度：處理 3－1＝2、區塊 6－1＝5、誤差 (3－1)(6－1)＝10、總 17。均方：MSTR＝674、MSBL＝12650、MSE＝120。F(處理)＝674／120＝5.617；F(區塊)＝12650／120＝105.42。
  • 四、假設檢定過程。H0：三個領域的平均分數相等（τ1＝τ2＝τ3＝0）；H1：至少有一領域平均分數與其他領域不同。α＝0.05，拒絕域為 F＞F(0.05; 2, 10)＝4.10。因 5.617＞4.10，拒絕 H0，有足夠證據說明學生在三個領域的表現不同。
  • 五、區塊效果與後續。區塊檢定 F＝105.42＞F(0.05; 5, 10)＝3.33，顯示學生間差異高度顯著，證實區塊化有效降低誤差。惟 ANOVA 僅指出「至少有一領域不同」，若要了解哪兩領域有差異，需進一步以 LSD 或 Tukey 法進行多重比較，並注意各領域分數尺度相同方可直接比較。

第5題

《華爾街日報》企業觀念研究2011 年讀者之調查，詢問其對全球250 家 公司管理品質與公司聲譽之關係的評比。此調查以甚佳、良好、尚可等 三種類別尺度來衡量公司的管理品質與公司聲譽。本研究200 位受訪者 之樣本資料如下： 公司聲譽 管理品質 甚佳 良好 尚可 甚佳 良好 尚可 在5%顯著水準下，檢定公司的管理品質與公司聲譽是否獨立。寫下假 設檢定的過程，包括虛無與對立假設、拒絕域、檢定統計量與檢定結 果。（15 分） 請根據樣本資料並用條件機率來說明 的檢定結果。（5 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、檢定方法與假設。管理品質與公司聲譽皆為三類別尺度（甚佳、良好、尚可），構成 3×3 列聯表，採卡方獨立性檢定。H0：管理品質與公司聲譽相互獨立；H1：兩者不獨立（有關聯）。α＝0.05，自由度為 (3－1)(3－1)＝4，拒絕域為 χ²＞χ²(0.05, 4)＝9.488。
  • 二、檢定統計量與計算步驟。期望次數 E(ij)＝(第 i 列合計×第 j 行合計)／n，n＝200；檢定統計量 χ²＝ΣΣ[O(ij)－E(ij)]²／E(ij)。因題目所附列聯表細格次數在試卷呈現中缺漏，題目資料缺漏，無法得出唯一數值，考生應列出完整的列合計、行合計、九個期望次數與加總式，並註明實際計算須待補齊細格資料。
  • 三、判定規則。將九個細格之 (O－E)²／E 加總後與 9.488 比較：若 χ²＞9.488，拒絕 H0，結論為管理品質與公司聲譽之間存在顯著關聯；若 χ²≤9.488，則不拒絕 H0，無足夠證據顯示兩者相關。另須檢查期望次數是否均不小於 5，若有過多細格期望次數偏低，宜合併類別或採精確檢定。
  • 四、以條件機率說明結果。計算列條件機率 P(聲譽＝j｜品質＝i)＝n(ij)／n(i·)，即固定管理品質等級後各聲譽等級所占比例；若三列的條件機率分配大致相同，表示聲譽不隨品質改變，支持獨立；若高品質列集中於「甚佳」聲譽、低品質列集中於「尚可」，則顯示正向關聯。由於原始細格資料缺漏，僅能說明此比較邏輯，無法算出具體百分比。

第6題

最近，可用性專業人士協會（UPA）針對會員進行薪水調查，採用一階 多元回歸模型（first-order multiple regression model），以經驗年數（x1）、 博士學位（x2 = 1 如果是博士，0 如果不是博士）和經理狀態（x3 = 1 如 果是經理，x3 =0 如果不是經理）來預測薪水（y，以美元為單位）。得到 如下預測方程式： ˆ 2941( 1) 16880( 2) 11108( 3) y x x x 預測擁有10 年經驗且沒有博士學位卻是經理的UPA 成員的薪水及 擁有10 年經驗且有博士學位卻不是經理的UPA 成員的薪水。比較 這兩份薪水，說明差別的可能原因。（6 分） 說明調整後的多重決定係數，Rୟୢ୨ ଶ=0.32 的實際解釋。（2 分） 已知x1 係數的95%信賴區間為（2700, 3200），說明此結果的實際解 釋。（2 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、模型結構與係數意義。一階多元迴歸模型為 y＝β0＋β1x1＋β2x2＋β3x3＋ε，其中 x1 為經驗年數（連續變數），x2、x3 為虛擬變數（dummy variable）。依題示係數：經驗每增一年薪水增加 2941 美元；博士學位相對非博士增加 16880 美元；經理相對非經理增加 11108 美元（各係數均在控制其他變數下解釋）。
  • 二、兩種情境的預測薪水。擁有 10 年經驗、無博士學位且為經理者：ŷ＝2941×10＋11108＝40518 美元；擁有 10 年經驗、有博士學位但非經理者：ŷ＝29410＋16880＝46290 美元。若方程含截距項，則兩式同加 β̂0，差額不變。兩者相差 5772 美元，博士者較高。
  • 三、差別的可能原因。博士學位的薪資溢酬 16880 美元高於經理職務的 11108 美元，兩者相差 5772 美元，故即使不擔任經理，博士學位仍帶來較高薪水。此外，學歷可能透過研究能力、專業聲望或職涯路徑間接影響薪酬，且模型未納入產業、地區、績效等變數，係數可能吸收未觀測因素的影響。
  • 四、調整後多重決定係數的解釋。R²adj＝0.32 表示在以經驗年數、博士學位與經理狀態解釋薪水變異時，經自由度調整後約有 32% 的薪水變異可由這三個變數共同解釋；其餘 68% 來自未納入模型的因素與隨機誤差。調整後 R² 已懲罰無貢獻的解釋變數，故不高於 R²，適合比較不同變數數量的模型。
  • 五、經驗年數係數信賴區間的解釋。β1 的 95% 信賴區間為 (2700, 3200)，表示在博士學位與經理狀態固定的條件下，我們有 95% 的信心認為每增加一年經驗，平均薪水增加 2700 至 3200 美元。因區間不包含 0，故在 5% 顯著水準下經驗年數對薪水有顯著正向影響；區間亦提供效果大小的實務判斷依據。

第7題

令λ 為固定正常數，且定義如下函數 f(x) = ଵ ଶλ݁ିఒ௫，對x≧0；f(x) = ଵ ଶλ݁ఒ௫，對x < 0。 若隨機變數X 的pdf 為f(x)，令t 為任意實數，試求P(X<t)。（10 分） 試求P(|X|<t)。（5 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、確認機率密度函數。f(x)＝(λ／2)e^(－λx)（x≥0）、f(x)＝(λ／2)e^(λx)（x＜0），可合寫為 f(x)＝(λ／2)e^(－λ|x|)，即雙指數（Laplace）分配，平均數 0、變異數 2／λ²。驗證總機率：∫(－∞,0)(λ／2)e^(λx)dx＋∫(0,∞)(λ／2)e^(－λx)dx＝1／2＋1／2＝1，圖形以 x＝0 為對稱尖峰，兩側呈指數衰减。
  • 二、當 t＜0 時。P(X＜t)＝∫(－∞,t)(λ／2)e^(λx)dx＝(λ／2)(1／λ)e^(λx)｜(－∞,t)＝(1／2)e^(λt)。因 t＜0，此值小於 1／2，符合分配的對稱性與左尾累積機率之意義。
  • 三、當 t≥0 時。可利用補集：P(X＜t)＝1－P(X≥t)＝1－∫(t,∞)(λ／2)e^(－λx)dx＝1－(1／2)e^(－λt)。當 t＝0 時得 1／2，與分配的對稱性一致；當 t→∞ 時趨近 1，符合累積分配函數的性質。
  • 四、計算 P(|X|＜t)。對 t≥0，P(|X|＜t)＝P(－t＜X＜t)＝F(t)－F(－t)＝[1－(1／2)e^(－λt)]－(1／2)e^(－λt)＝1－e^(－λt)；對 t＜0，因區間 (－t, t) 為空集合，機率為 0。答題時應明確寫出 t 的範圍限制，並提醒考生本小題之 t 須與前小題分開討論。