民國110年 高考三級 交通技術 統計學
第7題
令λ 為固定正常數，且定義如下函數 f(x) = ଵ ଶλ݁ିఒ௫，對x≧0；f(x) = ଵ ଶλ݁ఒ௫，對x < 0。 若隨機變數X 的pdf 為f(x)，…
題目
令λ 為固定正常數，且定義如下函數 f(x) = ଵ ଶλ݁ିఒ௫，對x≧0；f(x) = ଵ ଶλ݁ఒ௫，對x < 0。 若隨機變數X 的pdf 為f(x)，令t 為任意實數，試求P(X<t)。（10 分） 試求P(|X|<t)。（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、確認機率密度函數。f(x)＝(λ／2)e^(－λx)（x≥0）、f(x)＝(λ／2)e^(λx)（x＜0），可合寫為 f(x)＝(λ／2)e^(－λ|x|)，即雙指數（Laplace）分配，平均數 0、變異數 2／λ²。驗證總機率：∫(－∞,0)(λ／2)e^(λx)dx＋∫(0,∞)(λ／2)e^(－λx)dx＝1／2＋1／2＝1，圖形以 x＝0 為對稱尖峰，兩側呈指數衰减。
- 二、當 t＜0 時。P(X＜t)＝∫(－∞,t)(λ／2)e^(λx)dx＝(λ／2)(1／λ)e^(λx)｜(－∞,t)＝(1／2)e^(λt)。因 t＜0，此值小於 1／2，符合分配的對稱性與左尾累積機率之意義。
- 三、當 t≥0 時。可利用補集：P(X＜t)＝1－P(X≥t)＝1－∫(t,∞)(λ／2)e^(－λx)dx＝1－(1／2)e^(－λt)。當 t＝0 時得 1／2，與分配的對稱性一致；當 t→∞ 時趨近 1，符合累積分配函數的性質。
- 四、計算 P(|X|＜t)。對 t≥0，P(|X|＜t)＝P(－t＜X＜t)＝F(t)－F(－t)＝[1－(1／2)e^(－λt)]－(1／2)e^(－λt)＝1－e^(－λt)；對 t＜0，因區間 (－t, t) 為空集合，機率為 0。答題時應明確寫出 t 的範圍限制，並提醒考生本小題之 t 須與前小題分開討論。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。