民國110年 高考三級 交通技術 統計學
第6題
最近，可用性專業人士協會（UPA）針對會員進行薪水調查，採用一階 多元回歸模型（first-order multiple regression model），以…
題目
最近，可用性專業人士協會（UPA）針對會員進行薪水調查，採用一階 多元回歸模型（first-order multiple regression model），以經驗年數（x1）、 博士學位（x2 = 1 如果是博士，0 如果不是博士）和經理狀態（x3 = 1 如 果是經理，x3 =0 如果不是經理）來預測薪水（y，以美元為單位）。得到 如下預測方程式： ˆ 2941( 1) 16880( 2) 11108( 3) y x x x 預測擁有10 年經驗且沒有博士學位卻是經理的UPA 成員的薪水及 擁有10 年經驗且有博士學位卻不是經理的UPA 成員的薪水。比較 這兩份薪水，說明差別的可能原因。（6 分） 說明調整後的多重決定係數，Rୟୢ୨ ଶ=0.32 的實際解釋。（2 分） 已知x1 係數的95%信賴區間為（2700, 3200），說明此結果的實際解 釋。（2 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、模型結構與係數意義。一階多元迴歸模型為 y＝β0＋β1x1＋β2x2＋β3x3＋ε，其中 x1 為經驗年數（連續變數），x2、x3 為虛擬變數（dummy variable）。依題示係數：經驗每增一年薪水增加 2941 美元；博士學位相對非博士增加 16880 美元；經理相對非經理增加 11108 美元（各係數均在控制其他變數下解釋）。
- 二、兩種情境的預測薪水。擁有 10 年經驗、無博士學位且為經理者：ŷ＝2941×10＋11108＝40518 美元；擁有 10 年經驗、有博士學位但非經理者：ŷ＝29410＋16880＝46290 美元。若方程含截距項，則兩式同加 β̂0，差額不變。兩者相差 5772 美元，博士者較高。
- 三、差別的可能原因。博士學位的薪資溢酬 16880 美元高於經理職務的 11108 美元，兩者相差 5772 美元，故即使不擔任經理，博士學位仍帶來較高薪水。此外，學歷可能透過研究能力、專業聲望或職涯路徑間接影響薪酬，且模型未納入產業、地區、績效等變數，係數可能吸收未觀測因素的影響。
- 四、調整後多重決定係數的解釋。R²adj＝0.32 表示在以經驗年數、博士學位與經理狀態解釋薪水變異時，經自由度調整後約有 32% 的薪水變異可由這三個變數共同解釋；其餘 68% 來自未納入模型的因素與隨機誤差。調整後 R² 已懲罰無貢獻的解釋變數，故不高於 R²，適合比較不同變數數量的模型。
- 五、經驗年數係數信賴區間的解釋。β1 的 95% 信賴區間為 (2700, 3200)，表示在博士學位與經理狀態固定的條件下，我們有 95% 的信心認為每增加一年經驗，平均薪水增加 2700 至 3200 美元。因區間不包含 0，故在 5% 顯著水準下經驗年數對薪水有顯著正向影響；區間亦提供效果大小的實務判斷依據。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。