2026 年國際貨幣基金組織、世界銀行與聯合國糧食計劃署聯合聲明指 出，美伊最近在中東的衝突導致油價與化肥價格飆升，推高糧食價格， 造成全球性系統性生存危機。假…

題目

2026 年國際貨幣基金組織、世界銀行與聯合國糧食計劃署聯合聲明指 出，美伊最近在中東的衝突導致油價與化肥價格飆升，推高糧食價格， 造成全球性系統性生存危機。假設某國際組織蒐集了14 個低收入國家 在衝突前後的化肥價格（以變數X 表示，單位：美元／噸）及糧食價格 指數（以變數Y 表示）等相關數據，用以評估此危機之影響。（註：答案 數字若可整除請以小數表示，若不可整除請以分數表示） （每小題10 分，共30 分） 考慮用最小平方法建立簡單直線迴歸模型 i i i Y X , 1,2,...,14 i ，假設誤差 , ,... 彼此相互獨立且服從平均數為0，變 異數為 之常態分配。求在 : H 之下，迴歸之判定係數 （coefficient of determination） R 之機率密度函數。 以14 個國家的資料及最小平方法進行估計，若以Y 為應變數、X 為自 變數作簡單直線迴歸，得ˆ Y X ；但若以X 為應變數、Y 為自變 數作簡單直線迴歸，得ˆ 0.375 X Y 。針對題 之模型 1,2,...,14 i i i Y X i , ，請計算用以檢定迴歸模型整體顯著性 之F 檢定統計量之值。 續題 ，若已知 1( ) i i X X ，求 1ˆ 的標準誤 1ˆ ( ) Var 之估計值。

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、樞紐量之建立：在 H0：β1＝0 之下，模型 Y＝β0＋β1X＋ε 退化為 Y＝β0＋ε，此時 SSR＝β̂1²Sxx～σ²χ²(1)、SSE～σ²χ²(n－2)，且兩者獨立（Cochran 定理）。本題 n＝14，故誤差自由度為 12，判定係數（coefficient of determination）R²＝SSR/(SSR＋SSE)。
• 二、分配與機率密度函數：R² 為兩個獨立卡方變數之比，R²＝χ²(1)／[χ²(1)＋χ²(12)]～Beta(1/2, 6)。故 f(r)＝(1/B(1/2,6))·r^(－1/2)(1－r)^5，0＜r＜1；其中 B(1/2,6)＝Γ(1/2)Γ(6)/Γ(13/2)＝(√π·120)/((10395/64)√π)＝512/693，故 f(r)＝(693/512)r^(－1/2)(1－r)^5，0＜r＜1，其餘為 0。
• 三、性質與另一種寫法：Beta(1/2,6) 之平均數為 (1/2)/(13/2)＝1/13，變異數為 (1/2×6)/[(13/2)²(15/2)]＝8/845。若題意之 R 指判定係數之正平方根（即相關係數絕對值），則以變數變換 fR(r)＝2r·f(r²) 得 fR(r)＝(693/256)(1－r²)^5，0＜r＜1；作答時宜註明所稱 R 係指 R² 或其平方根。
• 四、F 檢定統計量：整體顯著性檢定 H0：β1＝0 對 Ha：β1≠0，F＝MSR/MSE＝(SSR/1)/(SSE/12)＝12R²/(1－R²)。又兩條迴歸直線斜率之乘積等於 R²，即 R²＝β̂1×0.375，故 F＝4.5β̂1/(1－0.375β̂1)。惟題幹僅給反向迴歸斜率 0.375，未給 β̂1（或 Sxx、Syy），題目資料缺漏，無法得出唯一數值；判定規則為 F＞F0.05(1,12)＝4.747 時拒絕 H0。
• 五、斜率標準誤之估計：Var(β̂1) 之估計式為 σ̂²/Sxx＝[SSE/(n－2)]/Σ(Xi－X̄)²＝Syy(1－R²)/(12Sxx)，開根號即標準誤 se(β̂1)。題幹雖提示 Σ(Xi－X̄)²（該數值於題幹缺漏），但未給 MSE 或 Syy，題目資料缺漏，無法得出唯一數值；考場上應先由 SSE＝Syy(1－R²) 求 MSE，再除以 Sxx，並可據以建構 β̂1±t0.025(12)·se(β̂1) 之 95% 信賴區間（t0.025(12)＝2.179）。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

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