民國115年 高考三級 統計 統計學
第2題
全球低軌衛星網路已大規模部署，衛星覆蓋範圍延伸至偏遠地區與極 地，提供高速且穩定的聯網服務。某低軌衛星星座由800 枚衛星組成， 每枚衛星每日可服務隨機到達的連…
題目
全球低軌衛星網路已大規模部署，衛星覆蓋範圍延伸至偏遠地區與極 地，提供高速且穩定的聯網服務。某低軌衛星星座由800 枚衛星組成， 每枚衛星每日可服務隨機到達的連線請求。今工程師從營運資料中抽取 樣本，以評估覆蓋率與延遲表現。已知每枚衛星每小時接收到的連線請 求次數服從卜瓦松（Poisson）分配，其平均發生頻率為 次／小時。（註： 答案數字若可整除請以小數表示，若不可整除請以分數或自然指數e 表 示）（每小題10 分，共70 分） 假設過去針對某枚衛星觀測到一組連線請求間隔時間的隨機樣本 , ,..., n T T T（單位：小時），且假設 ( ) , 1,2,..., i E T i n 。請以隨機樣本 , ,..., n T T T ，求出該枚衛星自某時間點起，「等候下一次連線請求的時 間在30 分鐘以內」之發生機率的最大概似估計量（maximum likelihood estimator）。 已知某極地區域每日連線請求次數N 服從具有平均數為50 之Poisson 分配，另已知每次請求的資料量為彼此相互獨立，具有平均數0.2 MB 的指數分配，亦即，若令 i M 為第i 次請求連線的資料量，則 , ,... M M 為彼此相互獨立且均具有平均數0.2 MB 的指數分配。假設N 與 i M 獨 立。求該極地區域每日連線總資料量 N i i S M 的變異數。 衛星聯網需要與地面核心網對接。若已知有三個獨立運行的地面接收 站A、B 與C，其系統發生「封包遺失」的次數分別符合獨立的Poisson 分配，且其遺失的頻率分別為 0.3 A 次／小時、 0.2 B 次／小時及 0.5 C 次／小時。求一小時內這三個接收站合計發生至少1 次封包 遺失的機率。 續題 ，若在某小時內已知這三個接收站合計發生3 次封包遺失，求 這3 次封包遺失全部都不是由A 接收站造成的條件機率。 某低軌衛星上裝有三個獨立運作、相互備援的訊號偵測感測器，每個 感測器的失效時間均服從平均數為6（年）的指數分布。求這三個感 測器中，「最後一個」失效時間的期望值。 續題 ，若已知這三個感測器中，最早失效的感測器其失效時間已經 超過1 年的條件下，求它在未來1 年內就會失效的條件機率。 續題 ，令 iZ 為第i 個感測器的失效時間，求第一個失效的感測器失 效後，偵測系統還能存活的時間的期望值 [ { , , } { , , }] E Max Z Z Z Min Z Z Z 。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、等候時間機率之最大概似估計量（maximum likelihood estimator, MLE）：連線間隔 Ti 獨立同分布服從 Exp(λ)，E(Ti)＝1/λ。概似函數 L(λ)＝λⁿexp(－λΣTi)，取對數後微分得 λ̂＝n/ΣTi＝1/T̄。由 MLE 之不變性（invariance property），p＝P(T≤0.5)＝1－exp(－0.5λ) 之 MLE 為 p̂＝1－exp(－0.5λ̂)＝1－exp(－1/(2T̄))。
- 二、每日總資料量之變異數：S＝Σ(i＝1至N)Mi 為複合卜瓦松（compound Poisson）隨機變數。由全變異數分解，Var(S)＝E(N)Var(M)＋Var(N)[E(M)]²。因 M～Exp(平均0.2)，Var(M)＝0.2²＝0.04；N～Poisson(50)，E(N)＝Var(N)＝50。故 Var(S)＝50(0.04)＋50(0.2)²＝2＋2＝4（MB²）。
- 三、合併卜瓦松與條件機率：三站獨立，遺失次數之和服從 Poisson(0.3＋0.2＋0.5＝1)，故一小時內至少 1 次遺失之機率為 1－P(0)＝1－e^(－1)≈0.6321。又已知合計 3 次時，(NA,NB,NC)～Multinomial(3；0.3,0.2,0.5)，故三次全非 A 站造成之條件機率為 P(NA＝0)＝(0.7)³＝0.343。
- 四、次序統計量與無記憶性（memoryless property）：Zi～Exp(平均6)，率 λ＝1/6。最大值期望值 E[Z(3)]＝(1/λ)(1＋1/2＋1/3)＝6×(11/6)＝11（年）。最小值 Z(1)～Exp(3λ＝0.5)，平均 2 年；由無記憶性，P(Z(1)≤2 | Z(1)＞1)＝P(Z(1)≤1)＝1－e^(－0.5)≈0.3935。
- 五、第一顆失效後系統之平均存活時間：指數分配之次序統計量具間距獨立性，Z(2)－Z(1)～Exp(2λ)、Z(3)－Z(2)～Exp(λ)，故 E[Max－Min]＝1/(2λ)＋1/λ＝3＋6＝9（年）；亦可由 E[Max]－E[Min]＝11－2＝9 驗證，兩種算法結果一致。
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