民國115年 高考三級 統計 統計學考古題

民國115年 高考三級 統計 統計學收錄考選部官方試題，共 2 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。

官方資料

題目與答案

第1題

2026 年國際貨幣基金組織、世界銀行與聯合國糧食計劃署聯合聲明指 出，美伊最近在中東的衝突導致油價與化肥價格飆升，推高糧食價格， 造成全球性系統性生存危機。假設某國際組織蒐集了14 個低收入國家 在衝突前後的化肥價格（以變數X 表示，單位：美元／噸）及糧食價格 指數（以變數Y 表示）等相關數據，用以評估此危機之影響。（註：答案 數字若可整除請以小數表示，若不可整除請以分數表示） （每小題10 分，共30 分） 考慮用最小平方法建立簡單直線迴歸模型 i i i Y X , 1,2,...,14 i ，假設誤差 , ,... 彼此相互獨立且服從平均數為0，變 異數為 之常態分配。求在 : H 之下，迴歸之判定係數 （coefficient of determination） R 之機率密度函數。 以14 個國家的資料及最小平方法進行估計，若以Y 為應變數、X 為自 變數作簡單直線迴歸，得ˆ Y X ；但若以X 為應變數、Y 為自變 數作簡單直線迴歸，得ˆ 0.375 X Y 。針對題 之模型 1,2,...,14 i i i Y X i , ，請計算用以檢定迴歸模型整體顯著性 之F 檢定統計量之值。 續題 ，若已知 1( ) i i X X ，求 1ˆ 的標準誤 1ˆ ( ) Var 之估計值。

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、樞紐量之建立：在 H0：β1＝0 之下，模型 Y＝β0＋β1X＋ε 退化為 Y＝β0＋ε，此時 SSR＝β̂1²Sxx～σ²χ²(1)、SSE～σ²χ²(n－2)，且兩者獨立（Cochran 定理）。本題 n＝14，故誤差自由度為 12，判定係數（coefficient of determination）R²＝SSR/(SSR＋SSE)。
  • 二、分配與機率密度函數：R² 為兩個獨立卡方變數之比，R²＝χ²(1)／[χ²(1)＋χ²(12)]～Beta(1/2, 6)。故 f(r)＝(1/B(1/2,6))·r^(－1/2)(1－r)^5，0＜r＜1；其中 B(1/2,6)＝Γ(1/2)Γ(6)/Γ(13/2)＝(√π·120)/((10395/64)√π)＝512/693，故 f(r)＝(693/512)r^(－1/2)(1－r)^5，0＜r＜1，其餘為 0。
  • 三、性質與另一種寫法：Beta(1/2,6) 之平均數為 (1/2)/(13/2)＝1/13，變異數為 (1/2×6)/[(13/2)²(15/2)]＝8/845。若題意之 R 指判定係數之正平方根（即相關係數絕對值），則以變數變換 fR(r)＝2r·f(r²) 得 fR(r)＝(693/256)(1－r²)^5，0＜r＜1；作答時宜註明所稱 R 係指 R² 或其平方根。
  • 四、F 檢定統計量：整體顯著性檢定 H0：β1＝0 對 Ha：β1≠0，F＝MSR/MSE＝(SSR/1)/(SSE/12)＝12R²/(1－R²)。又兩條迴歸直線斜率之乘積等於 R²，即 R²＝β̂1×0.375，故 F＝4.5β̂1/(1－0.375β̂1)。惟題幹僅給反向迴歸斜率 0.375，未給 β̂1（或 Sxx、Syy），題目資料缺漏，無法得出唯一數值；判定規則為 F＞F0.05(1,12)＝4.747 時拒絕 H0。
  • 五、斜率標準誤之估計：Var(β̂1) 之估計式為 σ̂²/Sxx＝[SSE/(n－2)]/Σ(Xi－X̄)²＝Syy(1－R²)/(12Sxx)，開根號即標準誤 se(β̂1)。題幹雖提示 Σ(Xi－X̄)²（該數值於題幹缺漏），但未給 MSE 或 Syy，題目資料缺漏，無法得出唯一數值；考場上應先由 SSE＝Syy(1－R²) 求 MSE，再除以 Sxx，並可據以建構 β̂1±t0.025(12)·se(β̂1) 之 95% 信賴區間（t0.025(12)＝2.179）。

第2題

全球低軌衛星網路已大規模部署，衛星覆蓋範圍延伸至偏遠地區與極 地，提供高速且穩定的聯網服務。某低軌衛星星座由800 枚衛星組成， 每枚衛星每日可服務隨機到達的連線請求。今工程師從營運資料中抽取 樣本，以評估覆蓋率與延遲表現。已知每枚衛星每小時接收到的連線請 求次數服從卜瓦松（Poisson）分配，其平均發生頻率為 次／小時。（註： 答案數字若可整除請以小數表示，若不可整除請以分數或自然指數e 表 示）（每小題10 分，共70 分） 假設過去針對某枚衛星觀測到一組連線請求間隔時間的隨機樣本 , ,..., n T T T（單位：小時），且假設 ( ) , 1,2,..., i E T i n 。請以隨機樣本 , ,..., n T T T ，求出該枚衛星自某時間點起，「等候下一次連線請求的時 間在30 分鐘以內」之發生機率的最大概似估計量（maximum likelihood estimator）。 已知某極地區域每日連線請求次數N 服從具有平均數為50 之Poisson 分配，另已知每次請求的資料量為彼此相互獨立，具有平均數0.2 MB 的指數分配，亦即，若令 i M 為第i 次請求連線的資料量，則 , ,... M M 為彼此相互獨立且均具有平均數0.2 MB 的指數分配。假設N 與 i M 獨 立。求該極地區域每日連線總資料量 N i i S M 的變異數。 衛星聯網需要與地面核心網對接。若已知有三個獨立運行的地面接收 站A、B 與C，其系統發生「封包遺失」的次數分別符合獨立的Poisson 分配，且其遺失的頻率分別為 0.3 A 次／小時、 0.2 B 次／小時及 0.5 C 次／小時。求一小時內這三個接收站合計發生至少1 次封包 遺失的機率。 續題 ，若在某小時內已知這三個接收站合計發生3 次封包遺失，求 這3 次封包遺失全部都不是由A 接收站造成的條件機率。 某低軌衛星上裝有三個獨立運作、相互備援的訊號偵測感測器，每個 感測器的失效時間均服從平均數為6（年）的指數分布。求這三個感 測器中，「最後一個」失效時間的期望值。 續題 ，若已知這三個感測器中，最早失效的感測器其失效時間已經 超過1 年的條件下，求它在未來1 年內就會失效的條件機率。 續題 ，令 iZ 為第i 個感測器的失效時間，求第一個失效的感測器失 效後，偵測系統還能存活的時間的期望值 [ { , , } { , , }] E Max Z Z Z Min Z Z Z 。

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、等候時間機率之最大概似估計量（maximum likelihood estimator, MLE）：連線間隔 Ti 獨立同分布服從 Exp(λ)，E(Ti)＝1/λ。概似函數 L(λ)＝λⁿexp(－λΣTi)，取對數後微分得 λ̂＝n/ΣTi＝1/T̄。由 MLE 之不變性（invariance property），p＝P(T≤0.5)＝1－exp(－0.5λ) 之 MLE 為 p̂＝1－exp(－0.5λ̂)＝1－exp(－1/(2T̄))。
  • 二、每日總資料量之變異數：S＝Σ(i＝1至N)Mi 為複合卜瓦松（compound Poisson）隨機變數。由全變異數分解，Var(S)＝E(N)Var(M)＋Var(N)[E(M)]²。因 M～Exp(平均0.2)，Var(M)＝0.2²＝0.04；N～Poisson(50)，E(N)＝Var(N)＝50。故 Var(S)＝50(0.04)＋50(0.2)²＝2＋2＝4（MB²）。
  • 三、合併卜瓦松與條件機率：三站獨立，遺失次數之和服從 Poisson(0.3＋0.2＋0.5＝1)，故一小時內至少 1 次遺失之機率為 1－P(0)＝1－e^(－1)≈0.6321。又已知合計 3 次時，(NA,NB,NC)～Multinomial(3；0.3,0.2,0.5)，故三次全非 A 站造成之條件機率為 P(NA＝0)＝(0.7)³＝0.343。
  • 四、次序統計量與無記憶性（memoryless property）：Zi～Exp(平均6)，率 λ＝1/6。最大值期望值 E[Z(3)]＝(1/λ)(1＋1/2＋1/3)＝6×(11/6)＝11（年）。最小值 Z(1)～Exp(3λ＝0.5)，平均 2 年；由無記憶性，P(Z(1)≤2 | Z(1)＞1)＝P(Z(1)≤1)＝1－e^(－0.5)≈0.3935。
  • 五、第一顆失效後系統之平均存活時間：指數分配之次序統計量具間距獨立性，Z(2)－Z(1)～Exp(2λ)、Z(3)－Z(2)～Exp(λ)，故 E[Max－Min]＝1/(2λ)＋1/λ＝3＋6＝9（年）；亦可由 E[Max]－E[Min]＝11－2＝9 驗證，兩種算法結果一致。