某市政府推動智慧便民服務計畫，希望了解各行政區的線上服務使用情形、案件處理效率…｜115年高考三級統計抽樣方法與迴歸分析第1題題目

Question

某市政府推動智慧便民服務計畫，希望了解各行政區的線上服務使用情 形、案件處理效率、服務據點配置與行政區類型，是否會影響民眾對公 共服務的滿意度。變數說明如下： 變數說明 ܻ 民眾公共服務滿意度，0 至100 分 ܺଵ 每千人每月線上申辦件數 ܺଶ 平均案件處理天數 ܺଷ 每萬人服務據點數 ܦଵ 一般市區：是為1，否為0 ܦଶ 核心商業區：是為1，否為0 其中，偏遠地區作為基準組，因此偏遠地區之ܦଵ= 0、ܦଶ= 0。 市政府先以每千人每月線上申辦件數ܺଵ作為自變數，解釋民眾公共服 務滿意度ܻ。建立簡單線性迴歸模型： ܻ௜= ߚ଴+ ߚଵܺଵ௜+ ߝ௜ , ݅= 1,2, … ,10 其中，誤差項ߝ௜相互獨立，且服從常態分配： ߝ௜∼ܰ(0, ߪଶ) 已知10 個行政區的摘要統計量如下： ݊ = 10, ෍ܺଵ௜ ଵ଴ ௜ୀଵ = 850, ෍ܻ௜ ଵ଴ ௜ୀଵ = 740, ෍ܺଵ௜ ଶ ଵ଴ ௜ୀଵ = 80500, ෍ܻ௜ ଶ ଵ଴ ௜ୀଵ = 56410, ෍ܺଵ௜ ଵ଴ ௜ୀଵ ܻ௜ = 66200 請以最小平方法（least squares method）求出ߚ଴與ߚଵ的估計值，寫出配 適後的簡單線性迴歸模型，並計算判定係數ܴଶ，說明其意義。（15 分） 延續第 題的簡單線性迴歸模型，請建立變異數分析表，並在顯著水準 ߙ= 0.05下檢定迴歸模型是否顯著。已知臨界值為：ܨ଴.଴ହ(1,8) = 5.32 （12 分） 市政府進一步同時考慮線上申辦件數、平均案件處理天數與服務據點 數對滿意度的影響，建立複迴歸模型： ܻ௜= ߚ଴+ ߚଵܹଵ௜+ ߚଶܹଶ௜+ ߚଷܹଷ௜+ ߝ௜ 其中： ܹଵ= ܺଵ−80 , ܹଶ= ܺଶ−6 , ܹଷ= ܺଷ−10 令設計矩陣（design matrix）為ܺ，反應變數向量（response vector）為 ܡ，複迴歸模型可表示為： ܡ= ܺ઺+ ઽ 且已知： (ܺ′ܺ)ିଵ= ൦ 0.125 0.125 0.125 0.125 ൪, ܺ′ܡ= ൦ −32 請利用最小平方法估計઺，寫出複迴歸估計模型，並預測某行政區在 ܺଵ= 100、ܺଶ= 5、ܺଷ= 14時的公共服務滿意度。（13 分） 市政府為了解不同類型行政區的公共服務滿意度差異，將行政區分為 三類：偏遠地區、一般市區與核心商業區。其中以「偏遠地區」作為 基準組，並設定兩個屬性自變數如下： ܦଵ= ቊ1, 一般市區 0, 非一般市區 ܦଶ= ቊ1, 核心商業區 0, 非核心商業區 根據資料，估計得到下列迴歸式： ܻ෠= 46.80 + 0.32ܺଵ−1.45ܺଶ+ 5.20ܦଵ+ 10.40ܦଶ 請解釋5.20 與10.40 兩個迴歸係數的意義。在控制線上申辦件數與平 均案件處理天數後，核心商業區的預測滿意度比一般市區高多少分？ （10 分）

Accepted Answer

一、最小平方估計（15分）：由摘要統計量得 X̄=850/10=85、Ȳ=740/10=74；S_XX=80,500−(850)²/10=8,250，S_XY=66,200−(850)(740)/10=3,300。故 β̂₁=S_XY/S_XX=3,300/8,250=0.40，β̂₀=Ȳ−β̂₁X̄=74−0.40×85=40.00。配適模型為 Ŷ=40.00+0.40X₁，表示每千人每月線上申辦件數每增加1件，滿意度平均提高0.40分。 二、判定係數（含於15分）：S_YY=56,410−(740)²/10=1,650，SSR=S_XY²/S_XX=(3,300)²/8,250=1,320，SSE=S_YY−SSR=330。R²=SSR/S_YY=1,320/1,650=0.80，即線上申辦件數可解釋滿意度總變異的80%，其餘20%由其他因素與隨機誤差構成；R²愈接近1配適愈佳，但樣本僅10個觀察值，仍須留意過度配適與外推風險。 三、變異數分析與檢定（12分）：迴歸自由度1、誤差自由度n−2=8、總自由度9；SSR=1,320、SSE=330、SST=1,650；MSR=1,320、MSE=330/8=41.25。檢定H₀:β₁=0對H₁:β₁≠0，F=MSR/MSE=1,320/41.25=32.00。因F=32.00>F₀.₀₅(1,8)=5.32，拒絕H₀，結論為在α=0.05下迴歸模型顯著，線上申辦件數對滿意度具顯著線性解釋力。 四、複迴歸與預測（13分）：以W₁=X₁−80、W₂=X₂−6、W₃=X₃−10中心化後，最小平方解為β̂=(X′X)⁻¹X′Y。題面(X′X)⁻¹看似對角元素均為0.125之4×4矩陣，若採此假設則β̂=0.125×X′Y；惟X′Y僅顯示−32一項，其餘遭截斷，完整係數無法唯一確定。若−32對應W₂，則β̂₂=0.125×(−32)=−4.00，表示平均處理天數每增1天，滿意度平均降4分。預測時先轉換W₁=20、W₂=−1、W₃=4，再代入Ŷ=β̂₀+20β̂₁−β̂₂+4β̂₃；因X′Y缺漏，完整數值「題目資料缺漏，無法得出唯一數值」。 五、虛擬變數之解釋（10分）：在控制X₁、X₂後，β̂_D1=5.20表示一般市區之預測滿意度較偏遠地區（基準組，D₁=D₂=0）平均高5.20分；β̂_D2=10.40表示核心商業區較偏遠地區平均高10.40分。核心商業區與一般市區之差為10.40−5.20=5.20分，即控制線上申辦件數與平均處理天數後，核心商業區預測滿意度比一般市區高5.20分。此係「相對基準組」之效果解讀，並非絕對水準。

某市政府推動智慧便民服務計畫，希望了解各行政區的線上服務使用情形、案件處理效率、服務據點配置與行政區類型，是否會影響民眾對公共服務的滿意度。變數說明如下：…

題目

參考解答（AI 生成，非官方）

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