民國115年 高考三級 統計 抽樣方法與迴歸分析考古題

民國115年 高考三級 統計 抽樣方法與迴歸分析收錄考選部官方試題，共 2 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。

官方資料

題目與答案

第1題

某市政府推動智慧便民服務計畫，希望了解各行政區的線上服務使用情 形、案件處理效率、服務據點配置與行政區類型，是否會影響民眾對公 共服務的滿意度。變數說明如下： 變數說明 ܻ 民眾公共服務滿意度，0 至100 分 ܺଵ 每千人每月線上申辦件數 ܺଶ 平均案件處理天數 ܺଷ 每萬人服務據點數 ܦଵ 一般市區：是為1，否為0 ܦଶ 核心商業區：是為1，否為0 其中，偏遠地區作為基準組，因此偏遠地區之ܦଵ= 0、ܦଶ= 0。 市政府先以每千人每月線上申辦件數ܺଵ作為自變數，解釋民眾公共服 務滿意度ܻ。建立簡單線性迴歸模型： ܻ௜= ߚ଴+ ߚଵܺଵ௜+ ߝ௜ ,   ݅= 1,2, … ,10 其中，誤差項ߝ௜相互獨立，且服從常態分配： ߝ௜∼ܰ(0, ߪଶ) 已知10 個行政區的摘要統計量如下： ݊ = 10, ෍ܺଵ௜ ଵ଴ ௜ୀଵ = 850, ෍ܻ௜ ଵ଴ ௜ୀଵ = 740, ෍ܺଵ௜ ଶ ଵ଴ ௜ୀଵ = 80500, ෍ܻ௜ ଶ ଵ଴ ௜ୀଵ = 56410, ෍ܺଵ௜ ଵ଴ ௜ୀଵ ܻ௜ = 66200 請以最小平方法（least squares method）求出ߚ଴與ߚଵ的估計值，寫出配 適後的簡單線性迴歸模型，並計算判定係數ܴଶ，說明其意義。（15 分） 延續第 題的簡單線性迴歸模型，請建立變異數分析表，並在顯著水準 ߙ= 0.05下檢定迴歸模型是否顯著。已知臨界值為：ܨ଴.଴ହ(1,8) = 5.32 （12 分） 市政府進一步同時考慮線上申辦件數、平均案件處理天數與服務據點 數對滿意度的影響，建立複迴歸模型： ܻ௜= ߚ଴+ ߚଵܹଵ௜+ ߚଶܹଶ௜+ ߚଷܹଷ௜+ ߝ௜ 其中： ܹଵ= ܺଵ−80 ,  ܹଶ= ܺଶ−6 ,  ܹଷ= ܺଷ−10 令設計矩陣（design matrix）為ܺ，反應變數向量（response vector）為 ܡ，複迴歸模型可表示為： ܡ= ܺ઺+ ઽ 且已知： (ܺ′ܺ)ିଵ= ൦ 0.125 0.125 0.125 0.125 ൪,   ܺ′ܡ= ൦ −32 請利用最小平方法估計઺，寫出複迴歸估計模型，並預測某行政區在 ܺଵ= 100、ܺଶ= 5、ܺଷ= 14時的公共服務滿意度。（13 分） 市政府為了解不同類型行政區的公共服務滿意度差異，將行政區分為 三類：偏遠地區、一般市區與核心商業區。其中以「偏遠地區」作為 基準組，並設定兩個屬性自變數如下： ܦଵ= ቊ1, 一般市區 0, 非一般市區 ܦଶ= ቊ1, 核心商業區 0, 非核心商業區 根據資料，估計得到下列迴歸式： ܻ෠= 46.80 + 0.32ܺଵ−1.45ܺଶ+ 5.20ܦଵ+ 10.40ܦଶ 請解釋5.20 與10.40 兩個迴歸係數的意義。在控制線上申辦件數與平 均案件處理天數後，核心商業區的預測滿意度比一般市區高多少分？ （10 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、最小平方估計（15分）：由摘要統計量得 X̄=850/10=85、Ȳ=740/10=74；S_XX=80,500−(850)²/10=8,250，S_XY=66,200−(850)(740)/10=3,300。故 β̂₁=S_XY/S_XX=3,300/8,250=0.40，β̂₀=Ȳ−β̂₁X̄=74−0.40×85=40.00。配適模型為 Ŷ=40.00+0.40X₁，表示每千人每月線上申辦件數每增加1件，滿意度平均提高0.40分。
  • 二、判定係數（含於15分）：S_YY=56,410−(740)²/10=1,650，SSR=S_XY²/S_XX=(3,300)²/8,250=1,320，SSE=S_YY−SSR=330。R²=SSR/S_YY=1,320/1,650=0.80，即線上申辦件數可解釋滿意度總變異的80%，其餘20%由其他因素與隨機誤差構成；R²愈接近1配適愈佳，但樣本僅10個觀察值，仍須留意過度配適與外推風險。
  • 三、變異數分析與檢定（12分）：迴歸自由度1、誤差自由度n−2=8、總自由度9；SSR=1,320、SSE=330、SST=1,650；MSR=1,320、MSE=330/8=41.25。檢定H₀:β₁=0對H₁:β₁≠0，F=MSR/MSE=1,320/41.25=32.00。因F=32.00>F₀.₀₅(1,8)=5.32，拒絕H₀，結論為在α=0.05下迴歸模型顯著，線上申辦件數對滿意度具顯著線性解釋力。
  • 四、複迴歸與預測（13分）：以W₁=X₁−80、W₂=X₂−6、W₃=X₃−10中心化後，最小平方解為β̂=(X′X)⁻¹X′Y。題面(X′X)⁻¹看似對角元素均為0.125之4×4矩陣，若採此假設則β̂=0.125×X′Y；惟X′Y僅顯示−32一項，其餘遭截斷，完整係數無法唯一確定。若−32對應W₂，則β̂₂=0.125×(−32)=−4.00，表示平均處理天數每增1天，滿意度平均降4分。預測時先轉換W₁=20、W₂=−1、W₃=4，再代入Ŷ=β̂₀+20β̂₁−β̂₂+4β̂₃；因X′Y缺漏，完整數值「題目資料缺漏，無法得出唯一數值」。
  • 五、虛擬變數之解釋（10分）：在控制X₁、X₂後，β̂_D1=5.20表示一般市區之預測滿意度較偏遠地區（基準組，D₁=D₂=0）平均高5.20分；β̂_D2=10.40表示核心商業區較偏遠地區平均高10.40分。核心商業區與一般市區之差為10.40−5.20=5.20分，即控制線上申辦件數與平均處理天數後，核心商業區預測滿意度比一般市區高5.20分。此係「相對基準組」之效果解讀，並非絕對水準。

第2題

某政府機關希望了解員工使用生成式AI 協助公務處理的情形。研究團 隊依不同部門進行分層抽樣，調查員工每週使用生成式AI 協助公務的 時數。（每小題10 分，共50 分） 研究團隊完成比例配置抽樣後，得到下列樣本統計量： 部門 母體人數樣本數樣本平均數樣本變異數 行政部門 1,200 7.5 技術部門 1,800 9.0 服務部門 6.0 稽核部門 8.0 合計 4,500 請估計全機關員工每週使用生成式AI 協助公務的平均時數，並建立 全機關平均使用時數的95% 信賴區間。 研究團隊在正式抽樣前進行前測，得到各部門員工使用生成式AI 時 數的標準差如下： 部門 母體人數前測標準差 行政部門 1,200 技術部門 1,800 服務部門 稽核部門 若總樣本數為300，請使用Neyman allocation 計算各部門建議樣本數， 並說明配置結果的意義。 正式調查後，實際回收情況如下： 部門 原抽樣本數有效回覆數回覆者平均使用時數 行政部門 7.4 技術部門 9.1 服務部門 6.2 稽核部門 7.9 若原本採比例配置，各層基本權重皆為15，請計算各部門非回覆調整 後權重，並估計非回覆調整後全機關員工每週平均使用生成式AI 協 助公務的時數，同時說明若不處理非回覆可能造成的問題。 研究團隊發現，不同部門完成一份有效問卷的成本不同，資料如下： 部門 母體人數前測標準差單位調查成本 行政部門 1,200 技術部門 1,800 服務部門 稽核部門 若總調查成本限制為500，請使用成本限制下的最適配置計算各部門 建議樣本數，並說明此配置與Neyman allocation 的差異。 若政府機關希望估計全機關員工每週使用生成式AI 協助公務的平均 時數，並希望在95% 信心水準下估計誤差不超過0.5 小時。根據前測 資料，估計全體標準差為7.5，母體總人數為4,500。請分別計算不考 慮有限母體修正與考慮有限母體修正時所需樣本數；若預估問卷回覆 率為80%，請計算原始應抽樣本數。

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、比例配置下之估計（10分）：分層估計量為ȳ_st=Σ_h W_h ȳ_h，W_h=N_h/N。已知行政1,200人、技術1,800人、合計4,500人，故服務與稽核合計1,500人，但題面未載兩層各自N_h。以N_s表服務部門人數，則ȳ_st=[1,200(7.5)+1,800(9.0)+N_s(6.0)+(1,500−N_s)(8.0)]/4,500=(37,200−2N_s)/4,500。信賴區間需V(ȳ_st)=Σ_h W_h²(1−n_h/N_h)S_h²/n_h，因樣本數與樣本變異數未載，「題目資料缺漏，無法得出唯一數值」。
  • 二、Neyman配置（10分）：公式n_h=n·(N_h S_h)/(Σ_h N_h S_h)，S_h為前測標準差。題面前測標準差欄位空白，僅知N₁=1,200、N₂=1,800與總樣本n=300，無法算出各層n_h，故「題目資料缺漏，無法得出唯一數值」。其意義為層內標準差愈大者分配愈多樣本，使各層變異貢獻趨於相等，並在固定n下最小化分層估計變異數；若各層S_h相同則退化為比例配置。
  • 三、非回覆調整（10分）：調整後權重w_h*=w_h×(n_h/r_h)，w_h=15為基本權重，n_h為原抽樣本數、r_h為有效回覆數；調整後估計ȳ_adj=Σ_h w_h* r_h ȳ_h/Σ_h w_h* r_h。題面僅列回覆者平均（7.4、9.1、6.2、7.9），缺n_h與r_h，故「題目資料缺漏，無法得出唯一數值」。若不處理非回覆，當回覆者與未回覆者在使用時數上有系統差異，將產生非回覆偏差（nonresponse bias），使估計失真並可能低估變異，故須以權重調整或加權補償。
  • 四、成本限制最適配置（10分）：n_h=n·(N_h S_h/√c_h)/Σ_h(N_h S_h/√c_h)，並滿足C=c₀+Σ_h c_h n_h≤500。題面單位調查成本未載，無法計算，故「題目資料缺漏，無法得出唯一數值」。與Neyman配置相比，成本法會降低單位成本較高層級的樣本、增加成本較低或S_h較大層級的樣本；Neyman隱含各層單位成本相同，故成本法能在固定預算下得到較小變異數。
  • 五、樣本數與回覆率調整（10分）：不考慮有限母體修正n₀=z²σ²/d²=(1.96)²(7.5)²/(0.5)²=864.36≒865。考慮有限母體修正（finite population correction, FPC）n=n₀/[1+(n₀−1)/N]=864.36/[1+863.36/4,500]≈725.2≒726。若預估回覆率80%，原始應抽樣本數=726/0.8=907.5≒908（未修正版則為865/0.8≈1,082）。實務取整應無條件進位，以確保95%信心水準下誤差不超過0.5小時。