民國115年 高考三級 統計 抽樣方法與迴歸分析
第2題
某政府機關希望了解員工使用生成式AI 協助公務處理的情形。研究團 隊依不同部門進行分層抽樣，調查員工每週使用生成式AI 協助公務的 時數。（每小題10 分，共5…
題目
某政府機關希望了解員工使用生成式AI 協助公務處理的情形。研究團 隊依不同部門進行分層抽樣，調查員工每週使用生成式AI 協助公務的 時數。（每小題10 分，共50 分） 研究團隊完成比例配置抽樣後，得到下列樣本統計量： 部門 母體人數樣本數樣本平均數樣本變異數 行政部門 1,200 7.5 技術部門 1,800 9.0 服務部門 6.0 稽核部門 8.0 合計 4,500 請估計全機關員工每週使用生成式AI 協助公務的平均時數，並建立 全機關平均使用時數的95% 信賴區間。 研究團隊在正式抽樣前進行前測，得到各部門員工使用生成式AI 時 數的標準差如下： 部門 母體人數前測標準差 行政部門 1,200 技術部門 1,800 服務部門 稽核部門 若總樣本數為300，請使用Neyman allocation 計算各部門建議樣本數， 並說明配置結果的意義。 正式調查後，實際回收情況如下： 部門 原抽樣本數有效回覆數回覆者平均使用時數 行政部門 7.4 技術部門 9.1 服務部門 6.2 稽核部門 7.9 若原本採比例配置，各層基本權重皆為15，請計算各部門非回覆調整 後權重，並估計非回覆調整後全機關員工每週平均使用生成式AI 協 助公務的時數，同時說明若不處理非回覆可能造成的問題。 研究團隊發現，不同部門完成一份有效問卷的成本不同，資料如下： 部門 母體人數前測標準差單位調查成本 行政部門 1,200 技術部門 1,800 服務部門 稽核部門 若總調查成本限制為500，請使用成本限制下的最適配置計算各部門 建議樣本數，並說明此配置與Neyman allocation 的差異。 若政府機關希望估計全機關員工每週使用生成式AI 協助公務的平均 時數，並希望在95% 信心水準下估計誤差不超過0.5 小時。根據前測 資料，估計全體標準差為7.5，母體總人數為4,500。請分別計算不考 慮有限母體修正與考慮有限母體修正時所需樣本數；若預估問卷回覆 率為80%，請計算原始應抽樣本數。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、比例配置下之估計（10分）：分層估計量為ȳ_st=Σ_h W_h ȳ_h，W_h=N_h/N。已知行政1,200人、技術1,800人、合計4,500人，故服務與稽核合計1,500人，但題面未載兩層各自N_h。以N_s表服務部門人數，則ȳ_st=[1,200(7.5)+1,800(9.0)+N_s(6.0)+(1,500−N_s)(8.0)]/4,500=(37,200−2N_s)/4,500。信賴區間需V(ȳ_st)=Σ_h W_h²(1−n_h/N_h)S_h²/n_h，因樣本數與樣本變異數未載，「題目資料缺漏，無法得出唯一數值」。
- 二、Neyman配置（10分）：公式n_h=n·(N_h S_h)/(Σ_h N_h S_h)，S_h為前測標準差。題面前測標準差欄位空白，僅知N₁=1,200、N₂=1,800與總樣本n=300，無法算出各層n_h，故「題目資料缺漏，無法得出唯一數值」。其意義為層內標準差愈大者分配愈多樣本，使各層變異貢獻趨於相等，並在固定n下最小化分層估計變異數；若各層S_h相同則退化為比例配置。
- 三、非回覆調整（10分）：調整後權重w_h*=w_h×(n_h/r_h)，w_h=15為基本權重，n_h為原抽樣本數、r_h為有效回覆數；調整後估計ȳ_adj=Σ_h w_h* r_h ȳ_h/Σ_h w_h* r_h。題面僅列回覆者平均（7.4、9.1、6.2、7.9），缺n_h與r_h，故「題目資料缺漏，無法得出唯一數值」。若不處理非回覆，當回覆者與未回覆者在使用時數上有系統差異，將產生非回覆偏差（nonresponse bias），使估計失真並可能低估變異，故須以權重調整或加權補償。
- 四、成本限制最適配置（10分）：n_h=n·(N_h S_h/√c_h)/Σ_h(N_h S_h/√c_h)，並滿足C=c₀+Σ_h c_h n_h≤500。題面單位調查成本未載，無法計算，故「題目資料缺漏，無法得出唯一數值」。與Neyman配置相比，成本法會降低單位成本較高層級的樣本、增加成本較低或S_h較大層級的樣本；Neyman隱含各層單位成本相同，故成本法能在固定預算下得到較小變異數。
- 五、樣本數與回覆率調整（10分）：不考慮有限母體修正n₀=z²σ²/d²=(1.96)²(7.5)²/(0.5)²=864.36≒865。考慮有限母體修正（finite population correction, FPC）n=n₀/[1+(n₀−1)/N]=864.36/[1+863.36/4,500]≈725.2≒726。若預估回覆率80%，原始應抽樣本數=726/0.8=907.5≒908（未修正版則為865/0.8≈1,082）。實務取整應無條件進位，以確保95%信心水準下誤差不超過0.5小時。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。