某工業區的工安意外數為每月平均ߤ次的獨立卜瓦松（poisson）分配， （每小題10 分，共30 分） 根據過去經驗，92%左右的月份工安意外都不超過5 次，請…

題目

某工業區的工安意外數為每月平均ߤ次的獨立卜瓦松（poisson）分配， （每小題10 分，共30 分） 根據過去經驗，92%左右的月份工安意外都不超過5 次，請問ߤ接近那 個整數？（參考附表卜瓦松分配） 採 對ߤ的估計，求連2 個月零工安的機率（以算式表示即可）。 求3 個月內至少2 個月零工安的機率（以算式表示即可）。

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、模型與題意設定：令 X 為某月工安意外次數，X～Poisson(μ)，機率函數為 P(X=x)=e^(−μ)μ^x/x!（x=0,1,2,…），且 E(X)=Var(X)=μ。題意「92% 左右的月份不超過 5 次」即要求 P(X≤5)=Σ(x=0→5) e^(−μ)μ^x/x! ≈ 0.92，再由累積機率表反推最接近的整數 μ。此為典型的以累積機率反解參數問題，重點在於試算與比較，而非封閉解。
• 二、逐一代入試算：μ=2 時 P(X≤5)=e^(−2)(1+2+2+1.333+0.667+0.267)=0.1353×7.267≈0.983；μ=3 時 P(X≤5)=e^(−3)(1+3+4.5+4.5+3.375+2.025)=0.0498×18.4≈0.916；μ=4 時約為 0.785；μ=5 時約為 0.616。可見累積機率隨 μ 嚴格遞減，0.916 最接近 0.92，故 μ 最接近整數 3（即每月平均約 3 次工安意外）。
• 三、μ 的最大概似估計（MLE）：設 n 個月觀測值為 x₁,…,xₙ，概似函數 L(μ)=Π e^(−μ)μ^(xᵢ)/xᵢ!，取對數後 ℓ(μ)=−nμ+(Σxᵢ)lnμ−Σln(xᵢ!)，對 μ 微分並令其為零得 μ̂=X̄=Σxᵢ/n。故以 MLE 代入，單月零工安機率 p=P(X=0)=e^(−μ̂)=e^(−X̄)，此即所需估計式。
• 四、連 2 個月零工安的機率：因各月獨立且同分布，兩個月皆為零的機率為 p×p=p²=(e^(−X̄))²=e^(−2X̄)。若以 μ̂=3 代入可得數值約為 (0.0498)²≈0.00248，即約千分之 2.5；作答時以算式 e^(−2X̄) 表示即可，數值僅供驗算參考。
• 五、3 個月內至少 2 個月零工安：令 Y 為 3 個月中零工安的月數，則 Y～Bin(3,p)，p=e^(−X̄)。所求為 P(Y≥2)=C(3,2)p²(1−p)+C(3,1)… 修正為 C(3,2)p²(1−p)+p³=3p²−2p³=3e^(−2X̄)−2e^(−3X̄)。以 μ̂=3 代入約得 3(0.00248)−2(0.000123)≈0.0072，即約 0.72%。此題關鍵在於辨認「月份數固定、每月獨立」而採用二項分配，並以估計值代入而非使用真實 μ。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

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