民國115年 高考三級 經建行政 統計學
第2題
欲比較兩種生程式人工智慧工具，AI (X)和AI (Y)的計算速度。設ߤଵ、 ߤଶ分別為AI (X)和AI (Y)的平均計算時間，以以下實驗設計，在顯著 水準ߙ…
題目
欲比較兩種生程式人工智慧工具，AI (X)和AI (Y)的計算速度。設ߤଵ、 ߤଶ分別為AI (X)和AI (Y)的平均計算時間，以以下實驗設計，在顯著 水準ߙ= 0.05下檢定： ܪ: ߤଵ≤ߤଶ+ 1 ܪଵ: ߤଵ> ߤଶ+ 1 選16 個計算題，隨機各分8 題給AI (X)和AI (Y)，皆算得正確答案， 而所花時間（ݔଵ, … , ݔ଼與ݕଵ, … , ݕ଼）之平均及變異量為： ݔ‾ = 12, ݏ௫ଶ= 8 ݕ‾ = 9, ݏ௬ଶ= 8 請對上述假說進行檢定。（15 分） 選8 個計算題給AI (X)和AI (Y)計算，皆算得正確答案，而ݔ୧與ݕ୧ （i=1～8）分別為AI (X)和AI (Y)解第i 題所花時間，其平均及變異 量為： ݔ‾ = 12, ݏ௫ଶ= 8 ݕ‾ = 9, ݏ௬ଶ= 8 且ݔଵ, … , ݔ଼與ݕଵ, … , ݕ଼的相關係數為ݎ= 0.5。對上述假說進行檢定。 （15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、檢定設定：設 AI(X)、AI(Y) 的平均計算時間分別為 μ₁、μ₂，檢定 H₀：μ₁≤μ₂+1 對 H₁：μ₁>μ₂+1，實務上即檢定「X 較 Y 多耗時是否顯著超過 1 單位」。虛無假設邊界取 μ₁−μ₂=1，檢定統計量為 t=((x̄−ȳ)−1)/SE，右尾拒絕域，α=0.05，屬單尾檢定；因兩組樣本小（各 8 題），須假設母體常態且變異數相等（或以近似檢定處理）。
- 二、獨立樣本（unpooled 但同變異數）計算：n₁=n₂=8，x̄=12、s_x²=8，ȳ=9、s_y²=8。混合變異數 s_p²=[(n₁−1)s_x²+(n₂−1)s_y²]/(n₁+n₂−2)=(7×8+7×8)/14=8，s_p=2.828。SE=s_p√(1/8+1/8)=2.828×0.5=1.414。故 t=(12−9−1)/1.414=2/1.414≈1.414，自由度 df=14。
- 三、獨立樣本判定：查 t 表得 t_(0.05,14)=1.761（單尾）。因 t=1.414<1.761，未達拒絕域，故不拒絕 H₀，資料不足以證明 AI(X) 的平均計算時間比 AI(Y) 多出 1 單位以上。以 p 值言之，單尾 p 值約 0.09，大於 0.05，結論一致；信賴區間 (x̄−ȳ)−1±t×SE=2±1.761×1.414 亦包含 0，可作為佐證。
- 四、配對樣本（paired）計算：同一組 8 題分別由兩工具作答，令 dᵢ=xᵢ−yᵢ，則 d̄=x̄−ȳ=3。由變異數加法公式 s_d²=s_x²+s_y²−2r·s_x·s_y=8+8−2(0.5)(2.828)(2.828)=16−8=8，s_d=2.828。檢定統計量 t=d̄/(s_d/√n)=3/(2.828/2.828)=3/1=3.0，自由度 df=n−1=7。
- 五、配對樣本判定與比較：查表 t_(0.05,7)=1.895，因 t=3.0>1.895，拒絕 H₀，結論為在 α=0.05 下 AI(X) 平均耗時顯著超過 AI(Y) 達 1 單位以上。兩設計結論相反的原因在於配對設計透過相關係數 r=0.5 消除了題目難度的共同變異，使 s_d² 由 16 降為 8、標準誤減半，檢定力因而提升；此即「配對設計（randomized block）優於完全隨機設計」的具體展現。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。