民國115年 高考三級 經建行政 統計學考古題

民國115年 高考三級 經建行政 統計學收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。

官方資料

題目與答案

第1題

某工業區的工安意外數為每月平均ߤ次的獨立卜瓦松（poisson）分配， （每小題10 分，共30 分） 根據過去經驗，92%左右的月份工安意外都不超過5 次，請問ߤ接近那 個整數？（參考附表卜瓦松分配） 採 對ߤ的估計，求連2 個月零工安的機率（以算式表示即可）。 求3 個月內至少2 個月零工安的機率（以算式表示即可）。

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、模型與題意設定：令 X 為某月工安意外次數，X～Poisson(μ)，機率函數為 P(X=x)=e^(−μ)μ^x/x!（x=0,1,2,…），且 E(X)=Var(X)=μ。題意「92% 左右的月份不超過 5 次」即要求 P(X≤5)=Σ(x=0→5) e^(−μ)μ^x/x! ≈ 0.92，再由累積機率表反推最接近的整數 μ。此為典型的以累積機率反解參數問題，重點在於試算與比較，而非封閉解。
  • 二、逐一代入試算：μ=2 時 P(X≤5)=e^(−2)(1+2+2+1.333+0.667+0.267)=0.1353×7.267≈0.983；μ=3 時 P(X≤5)=e^(−3)(1+3+4.5+4.5+3.375+2.025)=0.0498×18.4≈0.916；μ=4 時約為 0.785；μ=5 時約為 0.616。可見累積機率隨 μ 嚴格遞減，0.916 最接近 0.92，故 μ 最接近整數 3（即每月平均約 3 次工安意外）。
  • 三、μ 的最大概似估計（MLE）：設 n 個月觀測值為 x₁,…,xₙ，概似函數 L(μ)=Π e^(−μ)μ^(xᵢ)/xᵢ!，取對數後 ℓ(μ)=−nμ+(Σxᵢ)lnμ−Σln(xᵢ!)，對 μ 微分並令其為零得 μ̂=X̄=Σxᵢ/n。故以 MLE 代入，單月零工安機率 p=P(X=0)=e^(−μ̂)=e^(−X̄)，此即所需估計式。
  • 四、連 2 個月零工安的機率：因各月獨立且同分布，兩個月皆為零的機率為 p×p=p²=(e^(−X̄))²=e^(−2X̄)。若以 μ̂=3 代入可得數值約為 (0.0498)²≈0.00248，即約千分之 2.5；作答時以算式 e^(−2X̄) 表示即可，數值僅供驗算參考。
  • 五、3 個月內至少 2 個月零工安：令 Y 為 3 個月中零工安的月數，則 Y～Bin(3,p)，p=e^(−X̄)。所求為 P(Y≥2)=C(3,2)p²(1−p)+C(3,1)… 修正為 C(3,2)p²(1−p)+p³=3p²−2p³=3e^(−2X̄)−2e^(−3X̄)。以 μ̂=3 代入約得 3(0.00248)−2(0.000123)≈0.0072，即約 0.72%。此題關鍵在於辨認「月份數固定、每月獨立」而採用二項分配，並以估計值代入而非使用真實 μ。

第2題

欲比較兩種生程式人工智慧工具，AI (X)和AI (Y)的計算速度。設ߤଵ、 ߤଶ分別為AI (X)和AI (Y)的平均計算時間，以以下實驗設計，在顯著 水準ߙ= 0.05下檢定： ܪ଴: ߤଵ≤ߤଶ+ 1 ܪଵ: ߤଵ> ߤଶ+ 1 選16 個計算題，隨機各分8 題給AI (X)和AI (Y)，皆算得正確答案， 而所花時間（ݔଵ, … , ݔ଼與ݕଵ, … , ݕ଼）之平均及變異量為： ݔ‾ = 12, ݏ௫ଶ= 8 ݕ‾ = 9, ݏ௬ଶ= 8 請對上述假說進行檢定。（15 分） 選8 個計算題給AI (X)和AI (Y)計算，皆算得正確答案，而ݔ୧與ݕ୧ （i=1～8）分別為AI (X)和AI (Y)解第i 題所花時間，其平均及變異 量為： ݔ‾ = 12, ݏ௫ଶ= 8 ݕ‾ = 9, ݏ௬ଶ= 8 且ݔଵ, … , ݔ଼與ݕଵ, … , ݕ଼的相關係數為ݎ= 0.5。對上述假說進行檢定。 （15 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、檢定設定：設 AI(X)、AI(Y) 的平均計算時間分別為 μ₁、μ₂，檢定 H₀：μ₁≤μ₂+1 對 H₁：μ₁>μ₂+1，實務上即檢定「X 較 Y 多耗時是否顯著超過 1 單位」。虛無假設邊界取 μ₁−μ₂=1，檢定統計量為 t=((x̄−ȳ)−1)/SE，右尾拒絕域，α=0.05，屬單尾檢定；因兩組樣本小（各 8 題），須假設母體常態且變異數相等（或以近似檢定處理）。
  • 二、獨立樣本（unpooled 但同變異數）計算：n₁=n₂=8，x̄=12、s_x²=8，ȳ=9、s_y²=8。混合變異數 s_p²=[(n₁−1)s_x²+(n₂−1)s_y²]/(n₁+n₂−2)=(7×8+7×8)/14=8，s_p=2.828。SE=s_p√(1/8+1/8)=2.828×0.5=1.414。故 t=(12−9−1)/1.414=2/1.414≈1.414，自由度 df=14。
  • 三、獨立樣本判定：查 t 表得 t_(0.05,14)=1.761（單尾）。因 t=1.414<1.761，未達拒絕域，故不拒絕 H₀，資料不足以證明 AI(X) 的平均計算時間比 AI(Y) 多出 1 單位以上。以 p 值言之，單尾 p 值約 0.09，大於 0.05，結論一致；信賴區間 (x̄−ȳ)−1±t×SE=2±1.761×1.414 亦包含 0，可作為佐證。
  • 四、配對樣本（paired）計算：同一組 8 題分別由兩工具作答，令 dᵢ=xᵢ−yᵢ，則 d̄=x̄−ȳ=3。由變異數加法公式 s_d²=s_x²+s_y²−2r·s_x·s_y=8+8−2(0.5)(2.828)(2.828)=16−8=8，s_d=2.828。檢定統計量 t=d̄/(s_d/√n)=3/(2.828/2.828)=3/1=3.0，自由度 df=n−1=7。
  • 五、配對樣本判定與比較：查表 t_(0.05,7)=1.895，因 t=3.0>1.895，拒絕 H₀，結論為在 α=0.05 下 AI(X) 平均耗時顯著超過 AI(Y) 達 1 單位以上。兩設計結論相反的原因在於配對設計透過相關係數 r=0.5 消除了題目難度的共同變異，使 s_d² 由 16 降為 8、標準誤減半，檢定力因而提升；此即「配對設計（randomized block）優於完全隨機設計」的具體展現。

第3題

根據機場通關檢驗之經驗，行李箱有攜帶肉類違禁品的機率是千分之 0.5。程序上，先由檢疫犬憑嗅覺判別，嗅出可能是有違禁肉品才詳細開 箱檢查。已知檢疫犬嗅覺「將正常行李箱誤判為有違禁肉品」的機率是 1/10；另外，「把有違禁肉品者誤判為正常行李箱」的機率是10-5。 今甲的某件行李被檢疫犬嗅出認為有肉類違禁品，請問他實際上真的有 肉類違禁品的機率大約是多少？（答案小數點以下3 位即可）（20 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、事件定義：令 D 表「行李實際攜帶肉類違禁品」，D^c 表未攜帶；令 T⁺ 表「檢疫犬嗅出（判定有違禁品）」，T⁻ 表判定正常。題目給定先驗機率 P(D)=0.0005、P(D^c)=0.9995；偽陽性率（false positive rate）P(T⁺|D^c)=1/10=0.1；偽陰性率（false negative rate）P(T⁻|D)=10⁻⁵，故敏感度（sensitivity）P(T⁺|D)=1−10⁻⁵=0.99999。所求為後驗機率 P(D|T⁺)。
  • 二、貝氏定理（Bayes' theorem）展開：P(D|T⁺)=P(T⁺|D)P(D)/[P(T⁺|D)P(D)+P(T⁺|D^c)P(D^c)]。分子為 0.99999×0.0005=0.000499995；分母第二項為 0.1×0.9995=0.09995。分母合計為 0.000499995+0.09995=0.100449995。此步驟的意義是把「以檢定結果為條件的機率」翻轉為「以真實狀態為條件的機率」。
  • 三、數值結果：P(D|T⁺)=0.000499995/0.100449995≈0.004977，取小數三位為 0.005（約 0.5%，即約 200 件被嗅出的行李中僅 1 件真的帶有違禁肉品）。答題時應完整寫出分子、分母與四捨五入過程，並註明單位為「機率」而非百分比，避免混淆。
  • 四、結果解釋與政策意涵：此結果看似反直覺，實為「基礎率謬誤（base rate fallacy）」的典型案例。由於違禁品盛行率僅千分之 0.5，而檢疫犬對正常行李的誤判率高達 10%，偽陽性件數（約 0.09995）遠多於真陽性件數（約 0.0005），後驗機率因而被稀釋。政策上若要提升精確度，應降低偽陽性率（加強犬隻訓練、採二階段複檢）或對高風險航班提高先驗機率，而非僅提高敏感度；亦可據此評估開箱檢查的社會成本與通關效率。

第4題

某地方政府推動「青年創業補助政策」，為了解補助資源分配情形，研究 人員隨機抽取27 位申請者，記錄其申請補助金額（單位：千元）如下： 322 339 340 343 356 364 391 417 476 261 269 271 274 279 280 283 283 286 287 292 293 296 300 304 305 313 321 求整體申請者補助金額的第25 百分位數（25th percentile）ߨ଴.ଶହ的點估 計值。（10 分） 求申請者補助金額的IQR（Inter-Quartitle Range，四分位距）。（10 分） 附表1 卜瓦松分布累積機率表 附表2 常態分配表 z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 0.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359 0.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753 0.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141 0.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517 0.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879 0.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224 0.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2517 .2549 0.7 .2580 .2611 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852 0.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133 0.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389 1.0 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 .3531 .3554 .3577 .3599 .3621 1.1 .3643 .3665 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3790 .3810 .3830 1.2 .3849 .3869 .3888 .3907 .3925 .3944 .3962 .3980 .3997 .4015 1.3 .4032 .4049 .4066 .4082 .4099 .4115 .4131 .4147 .4162 .4177 1.4 .4192 .4207 .4222 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .4306 .4319 1.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .4441 1.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .4545 1.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .4633 1.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .4706 1.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767 2.0 .4772 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798 .4803 .4808 .4812 .4817 2.1 .4821 .4826 .4830 .4834 .4838 .4842 .4846 .4850 .4854 .4857 2.2 .4861 .4864 .4868 .4871 .4875 .4878 .4881 .4884 .4887 .4890 2.3 .4893 .4896 .4898 .4901 .4904 .4906 .4909 .4911 .4913 .4916 2.4 .4918 .4920 .4922 .4925 .4927 .4929 .4931 .4932 .4934 .4936 2.5 .4938 .4940 .4941 .4943 .4945 .4946 .4948 .4949 .4951 .4952 2.6 .4953 .4955 .4956 .4957 .4959 .4960 .4961 .4962 .4963 .4964 2.7 .4965 .4966 .4967 .4968 .4969 .4970 .4971 .4972 .4973 .4974 2.8 .4974 .4975 .4976 .4977 .4977 .4978 .4979 .4979 .4980 .4981 2.9 .4981 .4982 .4982 .4983 .4984 .4984 .4985 .4985 .4986 .4986 3.0 .4987 .4987 .4987 .4988 .4988 .4989 .4989 .4989 .4990 .4990 3.1 .4990 .4991 .4991 .4991 .4992 .4992 .4992 .4992 .4993 .4993 3.2 .4993 .4993 .4994 .4994 .4994 .4994 .4994 .4995 .4995 .4995 3.3 .4995 .4995 .4995 .4996 .4996 .4996 .4996 .4996 .4996 .4997 3.4 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4998 3.5 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、資料整理：先將 27 筆補助金額由小到大排序為 261, 269, 271, 274, 279, 280, 283, 283, 286, 287, 292, 293, 296, 300, 304, 305, 313, 321, 322, 339, 340, 343, 356, 364, 391, 417, 476（單位：千元），n=27。求百分位數前必須排序，此為得分關鍵；資料呈現右偏（平均數大於中位數 296），故以中位數與四分位數描述較穩健。
  • 二、第 25 百分位數：採 (n+1)p 位置法，位置 =(27+1)×0.25=7，剛好為整數，故 Q₁ 即第 7 個觀測值 283，π̂₀.₂₅=283（千元）。若採 np 位置法，位置 =27×0.25=6.75，需在第 6 位 280 與第 7 位 283 間內插得 280+0.75×3=282.25，兩種算法差異僅 0.75 千元，作答時應註明所採定義。
  • 三、第 75 百分位數與四分位距：位置 =(27+1)×0.75=21，為整數，Q₃ 即第 21 個觀測值 340；故 IQR=Q₃−Q₁=340−283=57（千元）。若採 np 法，位置 =20.25，內插得 339+0.25×1=339.25，IQR≈339.25−282.25=57，數值相同，可見 IQR 對定義差異具穩健性，適合呈現補助金額的集中程度。
  • 四、統計意義與政策解讀：IQR=57 千元表示中間 50% 的申請者補助金額落在 283 至 340 千元之間，落差約 5.7 萬元。可進一步以 1.5×IQR 法則界定離群值：上界為 340+1.5×57=425.5，故 476 千元為高側離群值，顯示少數申請者獲得遠高於一般水準的補助；下界為 283−85.5=197.5，無低側離群值。據此可建議主管機關檢視高額補助個案的核定標準與資源配置公平性。
  • 五、方法限制：百分位數的估計對樣本數與內插方式敏感，小樣本（n=27）下 Q₁、Q₃ 的抽樣誤差較大；且點估計未附信賴區間，不宜逕行推論母體。若要比較不同年度或不同地區的補助分配，宜併用中位數、IQR 與盒鬚圖（box plot），並以 bootstrap 或無母數方法建立區間估計，方能支持政策調整的判斷。