民國115年 高考三級 工業行政 統計學
第1題
某工業區的工安意外數為每月平均ߤ次的獨立卜瓦松（poisson）分配， （每小題10 分，共30 分） 根據過去經驗，92%左右的月份工安意外都不超過5 次，請…
題目
某工業區的工安意外數為每月平均ߤ次的獨立卜瓦松（poisson）分配， （每小題10 分，共30 分） 根據過去經驗，92%左右的月份工安意外都不超過5 次，請問ߤ接近那 個整數？（參考附表卜瓦松分配） 採 對ߤ的估計，求連2 個月零工安的機率（以算式表示即可）。 求3 個月內至少2 個月零工安的機率（以算式表示即可）。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、令 X 為某月工安意外次數，依題意 X 服從平均數 μ 的卜瓦松分配（Poisson distribution），其機率函數為 P(X=k)=e^-μ μ^k/k!，k=0,1,2,…；累積機率為 P(X≤5)=Σ_{k=0}^5 e^-μ μ^k/k!。題意「92%左右的月份不超過5次」，即尋找使此累積機率接近0.92的整數 μ。
- 二、以 μ=3 代入，P(X≤5)=e^-3(1+3+4.5+4.5+3.375+2.025)=0.049787×18.4≒0.9161，約91.6%，與92%最接近；μ=2時約98.3%、μ=4時約78.5%，偏離較大。故 μ 接近的整數為3，可作為後續估計與計算的依據。
- 三、以最大概似估計（maximum likelihood estimate, MLE）得 μ̂=3，單月零工安機率 p=P(X=0)=e^-3。若各月相互獨立，連2個月零工安的機率為 p×p=e^-6≒0.00248，約0.25%；此即兩獨立卜瓦松事件同時為零的聯合機率。
- 四、3個月內零工安月數 Y 服從二項分配 Bin(3,p)，其中 p=e^-3。至少2個月零工安包含恰好2個月及3個月，機率為 C(3,2)p²(1-p)+p³=3e^-6(1-e^-3)+e^-9=3e^-6-2e^-9≒0.00719，約0.72%。
- 五、上述計算建立在每月獨立、μ固定不變且無過度離散（overdispersion）的假設。實務上若意外有季節性、群聚或設備改善，μ可能變動，應改採負二項分配或廣義線性模型，並對 μ̂ 附上信賴區間以呈現估計不確定性。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。